Hiperskończony faktor typu II1

Hiperskończony faktor typu II₁ – jedyny z dokładnością do izomorfizmu faktor $R$ (tj. algebra von Neumanna o trywialnym centrum), działający na ośrodkowej przestrzeni Hilberta, mający skończony ślad oraz, którego suma skończenie wymiarowych pod-C*-algebr jest gęsta w słabej topologii operatorowej. Jedyność $R$ została udowodniona przez Murraya i von Neumanna.

Własności

• Hiperskończony faktor typu II₁ $R$ jest minimalny w tym sensie, że każdy nieskończenie wymiarowy faktor $N$ zawiera $R.$ Co więcej, każdy faktor zawarty w $R$ jest izomorficzny z $R.$
• Dla każdego niezerowego rzutu $p\in R$ istnieje izomorfizm $pRp\cong R.$
• $K_{0}(R)=\mathbb {R} .$
• $R$ jest injektywną algebrą von Neumanna. Injektywność oznacza tutaj injektywność w klasie systemów operatorowych z morfizmami będącymi całkowicie dodatnimi odwzorowaniami liniowymi. (Wynika to z twierdzenia mówiącego, że w klasie faktorów pojęcia injektyności i hiperskończoności pokrywają się). Czasami $R$ jest definiowane jako jedyna injektywny faktor o skończonym śladzie działający na ośrodkowej przestrzeni Hilberta.
• Dla każdej ośrodkowej algebry UHF $A$ istnieje izomorfizm $R\cong A^{**}.$ W szczególności, $R$ jest granicą prostą ciągu induktywnego algebr macierzy $M_{2}^{k}(\mathbb {C} )$ (w kategorii algebr von Neumanna)

$M_{2}(\mathbb {C} )\longrightarrow M_{2^{2}}(\mathbb {C} )\longrightarrow \ M_{2^{3}}(\mathbb {C} )\longrightarrow \dots ,$

gdzie każdy morfizm $M_{2}^{k}(\mathbb {C} )\to M_{2}^{k+1}(\mathbb {C} )$ zachowuje jedność.