Klasa monotoniczna

Klasa monotoniczna – rodzina zbiorów zamkniętych ze względu na granice ciągów monotonicznych badana przede wszystkim w teorii mnogości i teorii miary.

Definicja

Niepustą rodzinę zbiorów ${\mathfrak {M}}$ nazywa się klasą monotoniczną, jeśli wraz z każdym ciągiem monotonicznym $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zbiorów rodziny ${\mathfrak {M}}$ należy do niej również granica $\lim A_{n}$ tego ciągu; w szczególności:

• jeśli ciąg $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest nierosnący, tzn. $A_{n}\supseteq A_{n+1},$ to

  $\lim A_{n}=\bigcap _{n}A_{n}\in {\mathfrak {M}}$

oraz

• jeśli ciąg $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest niemalejący, tzn. $A_{n}\subseteq A_{n+1}$ to

  $\lim A_{n}=\bigcup _{n}A_{n}\in {\mathfrak {M}}.$

Najmniejszą klasę monotoniczną zawierającą rodzinę zbiorów ${\mathfrak {A}}$ oznacza się $\mathrm {M} ({\mathfrak {A}})$ nazywa się klasą monotoniczną generowaną przez tę rodzinę,

$\mathrm {M} ({\mathfrak {A}})=\bigcap {\big \{}{\mathfrak {M}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\colon {\mathfrak {A}}\subset {\mathfrak {M}},$ ${\mathfrak {M}}$ jest klasą monotoniczną podzbiorów zbioru $X{\big \}},$

gdzie ${\mathcal {P}}(X)$ oznacza zbiór potęgowy $X.$

Właściwości

• Każde σ-ciało zbiorów jest klasą monotoniczną.
• Jeśli ciało zbiorów jest klasą monotoniczną, to jest także σ-ciałem.
• Jeśli ${\mathfrak {A}}$ jest ciałem zbiorów, to $\sigma ({\mathfrak {A}})=\mathrm {M} ({\mathfrak {A}}),$ gdzie $\sigma ({\mathfrak {A}})$ i $\mathrm {M} ({\mathfrak {A}})$ oznaczają odpowiednio σ-ciało zbiorów i klasę monotoniczną generowane przez rodzinę ${\mathfrak {A}}.$