Kwadryka

Kwadryka lub powierzchnia drugiego stopnia – powierzchnia dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne $x,\ y,\ z$:

$a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}zx+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0,\qquad (1)$

gdzie:

$a_{11},a_{22},a_{33},a_{12},a_{23},a_{13},a_{14},a_{24},a_{34},a_{44}\in \mathbb {R} ,$

przy czym nie zachodzi

$a_{11}=a_{22}=a_{33}=a_{12}=a_{23}=a_{13}=0$

(przynajmniej jeden z powyższych współczynników musi być różny od zera).

W zależności od wartości współczynników $a_{ij}$ kwadryka może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.

Wykresy i równania kanoniczne

Poprzez odpowiednie przekształcenie układu współrzędnych można równanie kwadryki sprowadzić do postaci kanonicznej, charakterystycznej dla jednego z wymienionych niżej 17 typów.

W poniższych wzorach $a,b,c\in \mathbb {R} _{+}.$

elipsoida	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$
elipsoida obrotowa     (szczególny przypadek elipsoidy)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1$
sfera         (szczególny przypadek elipsoidy obrotowej)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}}}=1$
paraboloida eliptyczna	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z=0$
paraboloida obrotowa     (szczególny przypadek paraboloidy eliptycznej)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-z=0$
paraboloida hiperboliczna	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z=0$
hiperboloida jednopowłokowa	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$
hiperboloida dwupowłokowa	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$
powierzchnia stożkowa	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0$
walec eliptyczny	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
powierzchnia boczna zwykłego walca o nieskończonej wysokości     (szczególny przypadek walca eliptycznego)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1$
walec hiperboliczny	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
walec paraboliczny	$x^{2}+2ay=0$
przecinające się płaszczyzny	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0$
tzw. przecinające się płaszczyzny urojone	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0$	prosta
równoległe płaszczyzny	$x^{2}=a^{2}$
nakładające się płaszczyzny	$x^{2}=0$
tzw. równoległe płaszczyzny urojone	$x^{2}=-a^{2}$	zbiór pusty
tzw. elipsoida urojona	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$	zbiór pusty
tzw. stożek urojony	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0$	pojedynczy punkt
tzw. urojony walec eliptyczny	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$	zbiór pusty

Ostatnie kilka przypadków opisuje kwadryki zdegenerowane, w których dla kanonicznego układu współrzędnych znika co najmniej jedna ze współrzędnych. Niektórzy autorzy nie zaliczają ich do kwadryk. W tym sensie także walce są przypadkami zdegenerowanymi, gdyż można je przedstawić w postaci zawierającej tylko dwie współrzędne. Ponadto warto zauważyć, że niektóre z tych zdegenerowanych kwadryk nie są powierzchniami (prosta, punkt, zbiór pusty).

Postać macierzowa równania

Równanie kwadryki można też przedstawić w postaci macierzowej:

$\mathbf {x} ^{T}\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} +2\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {x} +a_{44}=0,$

gdzie:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{bmatrix}}$

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{14}\\a_{24}\\a_{34}\end{bmatrix}}$

$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$

Niezmienniki

Poniższe wielkości nie zmieniają się przy zmianie początku układu współrzędnych i rotacji jego osi (równoważnie: przy przesuwaniu i obracaniu powierzchni względem układu współrzędnych):

$\Delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{24}&a_{34}&a_{44}\end{matrix}}\right|$

$\delta =\det A=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{matrix}}\right|$

$S=a_{11}+a_{22}+a_{33}$

$T=a_{22}a_{33}+a_{33}a_{11}+a_{11}a_{22}-a_{23}^{2}-a_{13}^{2}-a_{12}^{2}$

Określenie typu na podstawie współczynników

Korzystając ze znaku niezmienników można określić typ powierzchni danej równaniem (1) niezależnie od jej położenia w układzie współrzędnych.

• $\delta \neq 0$ tzw. powierzchnie środkowe:
  • $\Delta <0{:}$
    • $S\delta >0,\ T>0$ elipsoida (w szczególnym przypadku sfera)
    • $S\delta >0,\ T<0$ hiperboloida dwupowłokowa
    • $S\delta <0,\ T>0$ hiperboloida dwupowłokowa
  • $\Delta >0{:}$
    • $S\delta >0,\ T>0$ zbiór pusty (tzw. elipsoida urojona)
    • $S\delta >0,\ T<0$ hiperboloida jednopowłokowa
    • $S\delta <0,\ T>0$ hiperboloida jednopowłokowa
  • $\Delta =0{:}$
    • $S\delta >0,\ T>0$ pojedynczy punkt (tzw. stożek urojony)
    • $S\delta >0,\ T<0$ powierzchnia stożkowa
    • $S\delta <0,\ T>0$ powierzchnia stożkowa
• $\delta =0{:}$
  • $\Delta \neq 0$ paraboloidy:
    • $\Delta <0\Leftrightarrow T>0$ paraboloida eliptyczna (w szczególnym przypadku paraboloida obrotowa)
    • $\Delta >0\Leftrightarrow T<0$ paraboloida hiperboliczna
  • $\Delta =0{:}$
    • $\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{14}\\a_{12}&a_{22}&a_{24}\\a_{14}&a_{24}&a_{44}\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}&a_{14}\\a_{13}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{34}&a_{44}\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{24}&a_{34}&a_{44}\end{matrix}}\right|=0$
      przypadek zdegenerowany (suma dwóch płaszczyzn, jedna płaszczyzna, prosta lub zbiór pusty)
    • w przeciwnym wypadku powierzchnia walcowa oparta na krzywej stożkowej:
      • $T>0$ walec eliptyczny rzeczywisty lub urojony
      • $T<0$ walec hiperboliczny
      • $T=0$ walec paraboliczny

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 299–301.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Quadratic Surface, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Quadric (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
• Interaktywne aplety Javy rysujące różne rodzaje kwadryk (ang.)