Macierz Hurwitza

Macierz Hurwitza – kwadratowa macierz rzeczywista, będąca strukturą składająca się ze współczynników rzeczywistego wielomianu. Nazwa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Adolfa Hurwitza.

Definicja formalna

Dla danego rzeczywistego wielomianu:

$p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\ldots +a_{n-1}z+a_{n}$

macierz kwadratowa o wymiarach $n\times n$

$H(p):={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&a_{7}&\dots &0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&a_{6}&\dots &0\\0&a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &0\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}&\dots &0\\0&0&a_{1}&a_{3}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}$

nazywa się macierzą Hurwitza odpowiadającą wielomianowi $p.$

Kryterium stabilności Hurwitza

W 1895 roku Adolf Hurwitz ustalił, że wielomian rzeczywisty jest stabilny (to znaczy wszystkie jego pierwiastki leżą w otwartej lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wiodące główne minory macierzy $H(p)$ są dodatnie:

${\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[.5em]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[.5em]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}$

i tak dalej.

Stabilne macierze Hurwitza

W inżynierii i w teorii stabilności, macierz kwadratowa $A$ nazywa się macierzą stabilną (lub czasem macierzą Hurwitza), jeśli każda wartość własna macierzy $A$ ma ściśle ujemne części rzeczywiste, to znaczy:

$\mathrm {Re} [\lambda _{i}]<0$

dla każdej wartości własnej $\lambda _{i}.$

$A$ nazywana jest też macierzą stabilności, gdyż wówczas równanie różniczkowe zwyczajne

${\dot {x}}=Ax$

jest stabilne asympotycznie, to znaczy $x(t)\to 0,$ gdy $t\to \infty .$

Jeśli $G(s)$ jest transmitancją operatorową (o wartościach macierzowych) to $G$ nazywa się transmitancją Hurwitza, jeśli bieguny wszystkich elementów $G$ mają ujemne części rzeczywiste. Należy przy tym pamiętać, że nie jest konieczne, aby $G(s)$ dla danego argumentu $s$ była transmitancją Hurwitza, nie musi nawet być kwadratowa. Występuje jednak związek, że jeśli $A$ jest macierzą Hurwitza, to układ dynamiczny ma transmitancję Hurwitza.

Dowolny hiperboliczny punkt stały (lub punkt równowagi) ciągłego układu dynamicznego jest lokalnie asympotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, jeśli Jacobian układu dynamicznego jest w punkcie stałym stabilny w sensie Hurwitza.

Zobacz też

• kryterium stabilności Hurwitza
• stabilność układu automatycznej regulacji
• twierdzenie Hurwitza