Macierz Moore’a

Macierz Moore’a – macierz zdefiniowana nad ciałem skończonym, wprowadzona przez E.H. Moore. Kiedy jest to macierz kwadratowa, jej wyznacznik nazywa się wyznacznikiem Moore’a. Macierz Moore’a ma kolejne potęgi automorfizmu Frobeniusa zastosowane do pierwszej kolumny, więc jest to macierz $m\times n$ postaci:

$M={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{1}^{q}&\ldots &\alpha _{1}^{q^{n-1}}\\\alpha _{2}&\alpha _{2}^{q}&\ldots &\alpha _{2}^{q^{n-1}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{m}&\alpha _{m}^{q}&\ldots &\alpha _{m}^{q^{n-1}}\end{bmatrix}}$

lub

$M_{i,j}=\alpha _{i}^{q^{j-1}}$

dla wszystkich wskaźników $i$ oraz $j.$ (Niektórzy autorzy używają transpozycji powyższej macierzy).

Wyznacznik macierzy Moore’a

Wyznacznik macierzy kwadratowej Moore’a $(m=n)$ można przedstawić w postaci:

$\det(M)=\prod _{c}(c_{1}\cdot \alpha _{1}+\dots +c_{n}\cdot \alpha _{n}),$

gdzie $c$ przebiega przez kompletny zbiór wektorów kierunkowych, mających ostatni niezerowy element równy 1, czyli

$\det(M)=\prod _{1\leqslant i\leqslant n}\prod _{c_{1},c_{2},\dots ,c_{i-1}}(c_{1}\cdot \alpha _{1}+\dots +c_{i-1}\cdot \alpha _{i-1}+\alpha _{i}).$

Bibliografia

• Dickson, Leonard Eugene (1958) [1901], Magnus, Wilhelm, ed., Linear groups: With an exposition of the Galois field theory, Dover Phoenix editions, New York: Dover Publications
• David Goss (1996). Basic Structures of Function Field Arithmetic. Springer Verlag.
• Moore, E. H. (1896), A two-fold generalization of Fermat’s theorem, American M. S. Bull. 2: 189–199, doi:10.1090/S0002-9904-1896-00337-2, JFM 27.0139.05