Macierz wymierna

Macierz wymierna – macierz o wymiarach $m\times n,$ której elementami są funkcje wymierne $w_{ij}(s)$ zmiennej $s$ o współczynnikach z ciała $F,$ o postaci

$W(S)={\begin{bmatrix}w_{11}(s)&w_{12}(s)&\dots &w_{1n}(s)\\w_{21}(s)&w_{22}(s)&\dots &w_{2n}(s)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\w_{11}(s)&w_{11}(s)&\dots &w_{11}(s)\end{bmatrix}}.$

Zbiór macierzy wymiernych o wymiarach $m\times n$ zmiennej $s$ i współczynnikach z ciała $F$ zazwyczaj oznaczany jest przez $F^{m\times n}(s).$ Ciałem $F$ może był ciało liczb rzeczywistych, liczb zespolonych, liczb wymiernych lub ciało funkcji wymiernych zmiennej $z$ itp.

Po sprowadzeniu wszystkich elementów $w_{ij}(s)$ macierzy wymiernej do wspólnego mianownika $m(s)$ o współczynniku równym 1 przy $s$ w najwyższej potędze, powyższą macierz można przedstawić w postaci

$W(s)={\frac {L(s)}{m(s)}},$

gdzie:

$L(s)\in F^{m\times n}(s)$ – macierz wielomianowa o współczynnikach z ciała $F,$

$m(s)$ – wielomian.

Macierz wymierna nieredukowalna

Niech $m(s)=(s-s_{1})^{n_{1}}(s-s_{2})^{n_{2}}\dots (s-s_{p})^{n_{p}},\sum _{i=1}^{p}n_{i}={\overline {n}}.$ Macierz nazwiemy nieredukowalną (nieskracalną) wtedy i tylko wtedy, gdy

$L(s_{k})\neq 0_{mn},k=1,\dots ,p,$

gdzie $0_{mn}$ jest macierzą zerową o wymiarach $m\times n.$

Jeżeli $L(s_{k}=0_{mn},$ to wszystkie elementy macierzy $L(s)$ są podzielne przez $(s-s_{k})$ i wówczas macierz jest redukowalna przez $(s-s_{k}).$ Nieredukowalną macierz w takiej postaci nazywamy macierzą w postaci standardowej. Pisząc macierz wielomianową $L(s)$ w postaci wielomianu macierzowego

$L(s)=L_{q}s_{q}+L_{q-1}s_{q-1}+\dots L_{1}s+L_{0},$

możemy macierz $W(s)$ zapisać w postaci

$W(s)={\frac {L_{q}s_{q}+L_{q-1}s_{q-1}+\dots L_{1}s+L_{0}}{m(s)}}.$

Przykład

Dla macierzy wymiernej

$W(s)={\begin{bmatrix}{\frac {s}{s-1}}&{\frac {1}{s+2}}&s\\{\frac {2}{s+2}}&{\frac {s+2}{s+1}}&2s\end{bmatrix}}$

najmniejszym wspólnym mianownikiem jest $m(s)=(s+1)(s+2),$ z pierwiastkami: $s_{1}=-1$ oraz $s_{2}=-2.$ Wtedy $W(s)$ możemy zapisać jako

$W(s)={\frac {1}{(s+1)(s+2)}}{\begin{bmatrix}s(s+2)&s+1&s(s+1)(s+2)\\2(s+1)&(s+2)^{2}&2s(s+1)(s+2)\end{bmatrix}}={\frac {L(s)}{m(s)}}.$

Macierz ta jest nieredukowalna, gdyż

$L(s_{1})={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}},L(s_{2})={\begin{bmatrix}0&-1&0\\-2&0&0\end{bmatrix}}.$

Wtedy postać $L(s)$ przyjmuje formę

$L(s)={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&2\end{bmatrix}}s^{3}+{\begin{bmatrix}1&0&3\\0&1&6\end{bmatrix}}s^{2}+{\begin{bmatrix}2&1&2\\2&4&4\end{bmatrix}}s+{\begin{bmatrix}0&1&0\\2&4&0\end{bmatrix}}.$

Wobec tego macierz rozważana w przykładzie w postaci $W(s)={\frac {L(s)}{m(s)}}$ jest równa

$W(s)={\frac {1}{(s+1)(s+2)}}\left({\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&2\end{bmatrix}}s^{3}+{\begin{bmatrix}1&0&3\\0&1&6\end{bmatrix}}s^{2}+{\begin{bmatrix}2&1&2\\2&4&4\end{bmatrix}}s+{\begin{bmatrix}0&1&0\\2&4&0\end{bmatrix}}\right).$

Macierz wymierna właściwa

Macierz wymierna jest właściwa (lub przyczynowa) wtedy i tylko wtedy, gdy $st\ m(s)\geqslant st\ L(s)$ oraz ściśle właściwą wtedy i tylko wtedy, gdy $st\ m(s)>st\ L(s).$

Zobacz też

• macierz
• spis macierzy

Bibliografia

• Wojciech Mitkowski: Równania macierzowe i ich zastosowania. Kraków: AGH Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, 2006. ISBN 83-7464-055-3.brak strony w książce
• Tadeusz Kaczorek: Zastosowanie macierzy wielomianowych i wymiernych w teorii układów dynamicznych. Białystok: Wydawnictwo Politechniki Białostockiej, 2004. ISBN 83-88229-70-2.brak strony w książce