Miara bezatomowa

Miara bezatomowa – taka miara, że dowolny zbiór miary dodatniej można podzielić na dwa podzbiory miary dodatniej.

Własności

Dla każdego $\mu$-mierzalnego zbioru $A$ można skonstruować zstępującą rodzinę zbiorów $A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \ldots$ taką, że

$\mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\ldots >0.$

jeśli miara nie jest bezatomowa to konstrukcja taka (dla pewnych zbiorów A) nie jest możliwa.

Dla miar bezatomowych prawdziwe jest także twierdzenie:

Dla dowolnego zbioru mierzalnego $A$ takiego, że $\mu (A)>0$ i dla każdej liczby rzeczywistej $0<b<\mu (A)$ istnieje taki podzbiór $B\subsetneq A,$ że $\mu (B)=b.$

Skąd można wnioskować, że $\mu$ przyjmuje nieprzeliczanie wiele wartości.

Uogólnienie

Definicję miary bezatomowej można rozszerzyć na σ-addytywne funkcje zbiorów o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Będziemy je dalej nazywać miarami rzeczywistymi.

Definicja

Niech ${\mathfrak {M}}$ będzie σ-ciałem, miarę rzeczywistą $\mu$ określona na ${\mathfrak {M}}$ nazywamy bezatomową, jeśli dla każdego zbioru $A\in {\mathfrak {M}}$ takiego, że $|\mu |(A)>0,$ istnieje ${\mathfrak {M}}\ni E\subseteq A$ taki, że $0<|\mu |{(E)}<|\mu |(A).$ Przez $|\mu |$ oznaczamy wahanie całkowite miary rzeczywistej $\mu .$

Zobacz też

• miara zupełna

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.brak strony w książce