Miara niezwartości

Miara niezwartości – funkcjonał mówiący o stopniu w jakim niezwarty jest dany ograniczony podzbiór przestrzeni metrycznej. Pomimo iż pojęcie miary niezwartości odnosi się do struktury metrycznej danej przestrzeni, to jednak jest ono użyteczne głównie w kontekście przestrzeni Banacha i innych przestrzeni liniowo-metrycznych. Po raz pierwszy funkcję tego typu rozważał Kazimierz Kuratowski w 1930 (tzw. miara niezwartości Kuratowskiego). Innym ważnym przykładem jest tzw. miara niezwartości Hausdorffa, która to została wprowadzona w 1957 przy okazji badania istnienia roziązań równań różniczkowych w przestrzeniach Banacha. Własności tych dwóch obiektów doprowadziły do sformułowania aksjomatycznej definicji miary niezwartości.

W dzisiejszej matematyce, miary niezwartości są efektywnym narzędziem w teorii równań operatorowych w przestrzeniach Banacha, równaniach funkcyjnych, równaniach różniczkowych cząstkowych, teorii sterowania, teorii punktu stałego i wielu innych.

Miara niezwartości Kuratowskiego

Niech $X$ będzie zupełną przestrzenią metryczną. Funkcja dana wzorem

$\alpha (B)=\inf\{\delta >0\colon \,B\subset B_{1}\cup \ldots \cup B_{n},{\mbox{diam}}(B_{i})\leqslant \delta ,\;1\leqslant i\leqslant n;\;n\in \mathbb {N} \}$

dla każdego ograniczonego zbioru $B\subset X,$ nazywana jest miarą niezwartości Kuratowskiego.

Innymi słowy, miara niezwartości Kuratowskiego ograniczonego zbioru $B$ to infimum z liczb nieujemnych $\delta$ takich, że zbiór $B$ można pokryć skończoną liczbą zbiorów o średnicy niewiększej niż $\delta .$

Podstawowe własności

Jeśli $B,C\subseteq X$ są zbiorami ograniczonymi, to mają miejsce następujące zależności (w przypadku punktów 8.-12. zakładamy, że $X$ jest przestrzenią Banacha):

1. $\alpha (B)=0\iff {\mbox{cl}}B$ jest zbiorem zwartym,
2. $\alpha (B)=\alpha ({\mbox{cl}}B),$
3. $B\subseteq C\Rightarrow \alpha (B)\leqslant \alpha (C),$
4. $\alpha (B\cup C)=\max\{\alpha (B),\alpha (C)\},$
5. $\alpha (B\cap C)\leqslant \min\{\alpha (B),\alpha (C)\},$
6. Uogólnienie twierdzenia Cantora dokonane przez Kuratowskiego: Jeśli $(B_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zstępującym ciągiem zbiorów, tj. $B_{n+1}\subseteq B_{n}$ dla każdego n, które są niepustymi, domkniętymi i ograniczonymi podzbiorami zupełnej przestrzeni metrycznej o tej własności, że $\alpha (B_{n})$ → 0, to zbiór $B=\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n}$ jest niepusty i zwarty, a przy tym $B_{n}\to B$ w sensie metryki Hausdorffa,
7. $\alpha (A)\leqslant \operatorname {diam} (A),$ gdzie diam(A) oznacza średnicę zbioru A,
8. $\alpha (rB)=|r|\alpha (B)$ dla każdej liczby rzeczywistej $r,$
9. $\alpha ({\mbox{conv}}B)=\alpha (B),$ gdzie ${\mbox{conv}}B$ oznacza otoczkę wypukłą zbioru $B,$
10. $\alpha (B+C)\leqslant \alpha (B)+\alpha (C),$
11. $\alpha (\,\bigcup \{\lambda B\colon \,0\leqslant \lambda \leqslant h\}\,)=h\cdot \alpha (B)$ dla każdej liczby $h>0,$
12. $\alpha (K(x,r))=2r.$

Miara niezwartości Hausdorffa

Podobnie, jak miarę niezwartości Kuratowskiego definiuje się miarę niezwartości Hausdorffa – zastępując warunek zbiór $B$ można pokryć skończoną liczbą zbiorów o średnicy niewiększej niż $\delta$ warunkiem zbiór $B$ ma skończoną δ-sieć (może być pokryty δ-kulami). Formalnie:

Niech $X$ będzie zupełną przestrzenią metryczną. Funkcja dana wzorem

$\chi (B)=\inf\{\delta >0\colon \,B\subset K(x_{1},\delta )\cup \ldots \cup K(x_{n},\delta ),\,x_{1},\dots ,x_{n}\in X;\;n\in \mathbb {N} \}$

dla każdego ograniczonego zbioru $B\subset X,$ nazywana jest miarą niezwartości Hausdorffa.

Miara niezwartości Hausdorffa ma własności 1.-11. miary Kuratowskiego (symbol $\alpha$ można zastąpić symbolem $\chi$), a miarę kuli w przestrzeni Banacha daje:

12'. $\chi (K(x,r))=r.$

Nazwa tej funkcji nie pochodzi bezpośrednio od nazwiska Felixa Hausdorffa, ale od metryki Hausdorffa, używając której można podać równoważną definicję $\chi (A)$ jako odległości zbioru $A$ do rodziny podzbiorów zwartych.

Związki z miarą Hausdorffa

Funkcje $\alpha$ i $\chi$ są w pewnym sensie równoważne. Mówiąc ściślej, jeśli $B\subseteq X$ jest zbiorem ograniczonym, to

$\chi (B)\leqslant \alpha (B)\leqslant 2\chi (B).$

W przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią Hilberta, to można otrzymać jeszcze lepsze szacowanie:

${\sqrt {2}}\chi (B)\leqslant \alpha (B)\leqslant 2\chi (B).$

Bibliografia

• Józef Banaś, Kazimierz Goebel: Measures of noncompactness in Banach spaces, Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences, Warszawa 1979
• Kazimierz Kuratowski: Topologie Vol I, PWN. Warszawa 1958
• R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapova, A.E. Rodkina, B.N. Sadovskii, Measure of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhäuser, Basel 1992