Moduł z gradacją

Moduł M nad pierścieniem R nazywamy modułem z gradacją lub g-modułem, lub R-g-modułem, jeśli istnieje taki ciąg $\{M^{n}\}$ podmodułów modułu M, że $M=\bigoplus _{n}M^{n}.$ Ciąg $\{M^{n}\}$ nazywamy gradacją modułu M.

Homomorfizm g-modułów

Niech $M,{\overline {M}}$ będą dwoma g-modułami, a $\{M^{n}\}$ i $\{{\overline {M}}^{n}\}.$ Homomorfizmem stopnia r $M\to {\overline {M}}$ tych g-modułów nazywamy taki R-homomorfizm $f\colon M\to {\overline {M}},$ że $f(M^{n})\subset {\overline {M}}^{n+r}$ dla każdego n.

Stąd wynika, że homomorfizm g-modułów jest wyznaczony przez ciąg R-homomorfizmów $f^{n}\colon M^{n}\to {\overline {M}}^{n+r}.$ Na odwrót, każdy ciąg R-homomorfizmów $f^{n}\colon M^{n}\to {\overline {M}}^{n+r}$ wyznacza homomorfizm stopnia r g-modułów.

Własności

• Złożenie g-homomorfizmów g-modułów jest g-homomorfizmem, którego stopień jest sumą stopni homomorfizmów składanych.
• Homomorfizm tożsamościowy $1_{M}\colon M\to M$ jest g-homomorfizmem stopnia 0.

Podmoduły

Podmodułem g-modułu $M$ (nad pierścieniem R) o gradacji $\{M^{n}\}$ nazywamy taki podmoduł ${\overline {M}}$ R-modułu $M$ z gradacją $\{{\overline {M}}^{n}\},$ że

${\overline {M}}=\bigoplus _{n}({\overline {M}}\cap M^{n}).$

Wynika stąd, że ciąg $\{{\overline {M}}\cap M^{n})\}$ jest gradacją g-modułu ${\overline {M}}$.

Własności

• Jeśli $M'$ i $M''$ są podmodułami g-modułu $M,$ to $M'\cap M''$ jest również podmodułem g-modułu M.
• Jeśli $M'$ i $M''$ są podmodułami g-modułu $M,$ to $M'+M''$ jest również podmodułem g-modułu M.

Gradacja indukowana

Załóżmy, że $M'$ jest podmodułem g-modułu $M.$ Gradację $\{{\overline {M}}^{n}\}$ w module ilorazowym ${\overline {M}}=M/M',$ zdefiniowaną następująco:

${\overline {M}}^{n}=M^{n}/(M'\cap M^{n})$

nazywamy gradacją indukowaną przez gradację modułu $M$.