Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga wprowadzona została do robotyki w celu uproszczenia opisu „mechanicznych ramion”. W uproszczeniu przedstawia ona sposób na przejście od początku do końca układu połączonych ze sobą obiektów (które mogą być liniami prostymi, prostopadłościanami itp.).

Przykład:

Notacja Denavita-Hartenberga dla wahadła podwójnego

Na rysunku przedstawione zostało podwójne wahadło. Notacja Denavita-Hartenberga pozwala opisać sposób przemieszczenia się z punktu zaczepienia pierwszego wahadła (punktu 0), do punktu zaczepienia drugiego ramienia (punktu 1). W notacji Denavita-Hartenberga przedstawia się to jako:

$RotZ(q_{1})TrX(l_{1})RotZ(q_{2})TrX(l_{2}),$

gdzie:

$RotZ$ oraz $TrX$ są symbolami macierzy transformacji elementarnych,

$q_{1},q_{2}$ określają kąt o jaki obrócone są wahadła,

$l_{1},l_{2}$ są długością wahadeł.

Notacja ta pozwala za pomocą macierzy przedstawić algorytm przemieszczenia, umożliwiający wyznaczenie zależności położenia punktu końcowego od położenia punktów pośrednich.

W robotyce jednym ze sposobów wyznaczenia położenia poszczególnych ogniw manipulatora jest użycie notacji Denavita-Hartenberga (D-H). Metoda ta jest bardzo prosta w zastosowaniu oraz w implementacji w programie komputerowym i pozwala opisać prawie każdy otwarty łańcuch kinematyczny. W celu zastosowania tej metody na początku wyznacza się macierze przejścia pomiędzy kolejnymi elementami łańcucha. W ogólności pojedyncza macierz transformacji z układu $A_{i-1}$ w $A_{i}$ przedstawiona jest jako

$A_{i-1}^{i}=RotZ(\theta _{i})TranZ(d_{i})TranX(a_{i})RotX(\alpha _{i}),$

gdzie:

$a_{i},d_{i},\alpha _{i}$ – parametry geometryczne,

$\theta _{i}=q_{i}$ – zmienna przegubowa

dla przegubu obrotowego oraz

$\theta _{i},a_{i},\alpha _{i}$ – parametry geometryczne,

$d_{i}=q_{i}$ – zmienna przegubowa

dla przegubu przesuwnego. Symbole RotZ, TranZ, TranX oraz RotX oznaczają elementarne macierze transformacji.

Złożenie transformacji $A_{i-1}^{i}$ dla całego łańcucha kinematycznego pozwala wyznaczyć odwzorowanie K: $\mathbb {Q} \to \mathbb {SE} (3)$

$K(q)=A_{0}^{N}(q)=\prod _{i=1}^{N}A_{i-1}^{i}(q_{i}),\quad q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})^{T}\in \mathbb {Q} ,$

gdzie:

$\mathbb {Q}$ – symbol przestrzeni współrzędnych wewnętrznych,

$q$ – wektor współrzędnych wewnętrznych,

$\mathbb {SE} (3)$ – symbol specjalnej grupy euklidesowej.

Kinematyka manipulatora ma postać $K(q)={\begin{bmatrix}R(q)&T(q)\\0&1\end{bmatrix}},$

gdzie wektor $T(q)$ określa położenie efektora wyrażone w bazowym układzie współrzędnych, natomiast macierz $R(q)$ określa jego orientację w przestrzeni również wyrażoną w bazowym układzie współrzędnych.