Obszar fundamentalny

Obszarem fundamentalnym dyskretnej grupy odwzorowań $\Gamma$ przestrzeni topologicznej X nazywany jest podzbiór $D$ przestrzeni $X,$ który zawiera po jednym elementcie każdej z orbit odwzorowania z grupy $\Gamma$. Jest kilka wariantów uściślenia pojęcia obszaru fundamentalnego:

1. Często zakłada się dodatkowo, że obszar fundamentalny należy do σ-algebry zbiorów borelowskich.
2. Jeśli X jest rozmaitością topologiczną, to zazwyczaj obszarem fundamentalnym nazywa się podzbiór $D\subset X,$ który jest domknięciem zbioru otwartego, takim że dla $\gamma \in \Gamma$ wnętrza podzbiorów $\gamma D$ nie mają parami punktów wspólnych i

$X=\bigcup \limits _{\gamma \in \Gamma }\gamma D$.

Obszar fundamentalny nie jest na ogół wyznaczony jednoznacznie. Jeśli obszar fundamentalny jest wielościanem, to mówimy o wielościanie fundamentalnym.

Przykłady

Różne obszary fundamentalne grupy przesunięć równoległych o współrzędnych całkowitych.

Obszarem fundamentalnym w sensie definicji 2. grupy przesunięć równoległych płaszczyzny $\mathbb {R} ^{2}$ o wektory o współrzędnych całkowitych jest kwadrat:

$\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leqslant x\leqslant 1,0\leqslant y\leqslant 1\}.$

Obszar fundamentalny tej grupy może przyjmować różne kształty (rysunek).

Bibliografia

• Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 5. Москва: Советская Энциклопедия, 1985.brak strony w książce
• Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967.brak strony w książce