Pierścień kwadratowy

Pierścień kwadratowy – pierścień, którego elementami są liczby zespolone postaci $x+y{\sqrt {D}},$ gdzie $x,y$ są liczbami wymiernymi, a $D$ jest bezkwadratową liczbą całkowitą (niepodzielną przez kwadrat liczby całkowitej). Każda, niekwadratowa liczba całkowita $D$ wyznacza jeden pierścień kwadratowy.

Definicja

Zbór wszystkich liczb postaci $x+y{\sqrt {D}}$ dla ustalonego $D$ i dowolnych $x,y\in \mathbb {Q}$ oznaczamy przez $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}).$

Jeżeli $D$ jest bezkwadratową liczbą całkowitą to niech

$\omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}},&{\text{gdy }}D\equiv {\text{ 2,3 (mod 4) }}\\{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}},&{\text{gdy }}D\equiv {\text{1 (mod 4)}}\end{cases}}$

i $\mathbb {Z} [\omega ]=\{x+\omega y:x,y\in \mathbb {Z} \}.$ Wtedy podzbiór zbioru $\mathbb {Z} [\omega ]\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})$ nazywamy pierścieniem kwadratowym i zwykle oznaczamy przez ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}.$

Jeśli $D>0$ to nazywamy go rzeczywistym pierścieniem kwadratowym, a jeśli $D<0$ to urojonym pierścieniem kwadratowym.

Przykłady

• Pierścień liczb całkowitych Gaussa: ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})}=\mathbb {Z} [-1].$ Jest przykładem pierścienia kwadratowego, który jest dziedziną ideałów głównych, wszystkie jego elementy są jednoznacznie rozkładalne na czynniki (można stosować algorytm Euklidesa).
• Pierścień liczb całkowitych Eisensteina: ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})}=\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}\right].$
• Pierścień Dedekinda: ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbb {Z} [-5],$ który nie jest dziedziną ideałów głównych, ale istnieją w nim ideały niegłówne oraz nie ma w nim jednoznaczności rozkładu na czynniki.
• Elementami pierścieni kwadratowych są rozwiązania równania Pella: $X^{2}-DY^{2}=1.$

Bibliografia

• Adam Neugebauer, Algebra i teoria liczb, wydanie VII, grudzień 2013, ISBN 978-83-7867-066-7.
• J.S. Milne, Algebraic Number Theory, wersja 3.01, 28 września 2008.