Pochodna Pincherlego

Pochodna Pincherlego – operator liniowy $T'\colon K[x]\to K[x]$ przekształcający inny operator liniowy $T\colon K[x]\to K[x],$ określony na przestrzeni liniowej wielomianów zmiennej $x$ z ciała $\mathbb {K} ,$ zdefiniowany wzorem

$T'=[T,x]=Tx-xT=-\operatorname {ad} (x)T$

tak, że

$T'{\bigg (}p(x){\bigg )}=T{\bigg (}xp(x){\bigg )}-xT{\bigg (}p(x){\bigg )}$ dla każdego $p(x)\in K[x].$

Innymi słowy, pochodna Pincherlego to komutator $T$ z mnożeniem przez $x$ w algebrze endomorfizmów $\operatorname {End} \left(K[x]\right).$

Pojęcie to nazwano po włoskim matematyku, Salvatore Pincherle (1853–1936).

Własności

Pochodna Pincherlego, jak każdy komutator jest różniczkowaniem, co oznacza, że spełnia prawa dodawania i mnożenia: dla danych dwóch operatorów liniowych $S$ i $T$ należących do $\operatorname {End} \left(K[x]\right)$ jest

• $(T+S)'=T'+S',$
• $(TS)'=T'\!S+TS',$ gdzie $TS=T\circ S$ jest złożeniem operatorów,
• $[T,S]'=[T',S]+[T,S'],$ gdzie $[T,S]=TS-ST$ jest zwykłym nawiasem Liego.

Zwykła pochodna, $\operatorname {D} ={\frac {d}{dx}}$ jest operatorem wielomianowym. Policzenie wprost daje, że jego pochodna Pincherlego to $\operatorname {D} '=\left({\tfrac {d}{dx}}\right)'=\operatorname {Id} _{K[x]}=1.$

Wzór ten uogólnia się do $\left(\operatorname {D} ^{n}\right)'=\left({\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}\right)'=n\operatorname {D} ^{n-1}$ przez indukcję. Dowodzi to, że pochodna Pincherlego operatora różniczkowego $\partial =\sum a_{n}{\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}=\sum a_{n}\operatorname {D} ^{n}$ również jest operatorem różniczkowym, a więc pochodna Pincherlego jest różniczkowaniem $\operatorname {Diff} (K[x]).$

Operator przesunięcia $S_{h}(f)(x)=f(x+h)$ może być zapisany jako $S_{h}=\sum _{n}{\tfrac {h^{n}}{n!}}\operatorname {D} ^{n}$ ze wzoru Taylora. Wtedy jego pochodna Pincherlego to $S_{h}'=\sum _{n}{\tfrac {h^{n}}{(n-1)!}}\operatorname {D} ^{n-1}=h\cdot S_{h}.$ Innymi słowy, operatory przesunięcia są wektorami własnymi pochodnej Pincherlego, którego spektrum jest cała przestrzeń skalarów $K.$

Jeżeli $T$ jest niezmiennicze ze względu na przesunięcia, tzn. jeżeli $T$ komutuje z $S_{h}$ lub $[T,S_{h}]=0,$ to zachodzi wtedy również $[T',S_{h}]=0,$ a więc $T'$ również jest niezmiennicze ze względu na przesunięcia o to samo przesunięcie $h.$

„Operator delta z czasem dyskretnym” $(\delta f)(x)={\tfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ to operator $\delta ={\tfrac {1}{h}}(S_{h}-1),$ którego pochodna Pincherlego jest operatorem przesunięcia $\delta '=S_{h}.$

Zobacz też

• analiza symboliczna
• komutator
• operator delta

Linki zewnętrzne

• (ang.) Weisstein, Eric W. „Pincherle Derivative” na MathWorld.
• (ang.) Biography of Salvatore Pincherle w archiwum historii matematyki MacTutor.