Przejdź do zawartości

Problem Fagnana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Trójkąt ortyczny:
wpisane trójkąty:

Problem Fagnana – problem optymalizacyjny postawiony po raz pierwszy przez włoskiego matematyka i duchownego Giovanniego Fagnana w 1775[1][2]:

Dla danego trójkąta ostrokątnego wyznaczyć trójkąt wpisany[a] o minimalnym obwodzie.

Rozwiązaniem problemu Fagnana jest trójkąt spodkowy[3] (zwany także trójkątem ortycznym), który powstaje z połączenia spodków wysokości danego trójkąta ostrokątnego[4].

Oryginalny dowód poprawności takiego rozwiązania podany przez Fagnana wykorzystuje metody rachunku różniczkowego oraz wynik pośredni podany przez jego ojca Giulio Carlo de’ Toschi di Fagnana. Później zostały zaprezentowane różne dowody czysto geometryczne, między innymi przez Hermanna Schwarza[5], Lipóta Fejéra[1][6], Hansa Samelsona i Mikołaja Izwolskiego[7]. Dowody geometryczne korzystają z własności odbić symetrycznych do skonstruowania pewnej minimalnej ścieżki reprezentującej obwód. Natomiast Nguyen Minh Ha podał dowód za pomocą iloczynu skalarnego wektorów[8].

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. ↑ Czyli taki, że wszystkie jego wierzchołki leżą na bokach danego trójkąta.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. ↑ a b Coxeter 1967 ↓, s. 36.
  2. ↑ Coxeter i Greitzer 1967 ↓, s. 88.
  3. ↑ Jędrychowski i Kordos 1993 ↓, s. 15.
  4. ↑ Coxeter 1967 ↓, s. 37.
  5. ↑ Coxeter i Greitzer 1967 ↓, s. 88-89.
  6. ↑ Ha 2004 ↓, s. 199.
  7. ↑ Izwolski 1937 ↓, s. 5-10.
  8. ↑ Ha 2004 ↓, s. 199-201.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Waldemar Pompe: Wokół obrotów przewodnik po geometrii elementarnej. Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2014, s. 15-18. ISBN 978-83-7267-599-6.
  • Harold Scott MacDonald Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Tłumaczenie Ryszard Krasnodębski. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967, s. 36–37. OCLC 749271287.
  • Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer: Geometry Revisited. T. 19. Waszyngton: Mathematical Association of America, 1967, s. 88–89. ISBN 0-88385-619-0. (ang.). pdf. [dostęp 2015-09-19].
  • Wojciech Jędrychowski, Marek Kordos: Szkoła geometrii. Odczyty Kaliskie. Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1993. ISBN 83-02-05329-5.
  • Heinrich Dörrie: 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution. Dover Publications, 1965, s. 359-360. ISBN 0-486-61348-8. (ang.). Problem 90. [dostęp 2015-09-19].
  • Nguyen Minh Ha. Another Proof of Fagnano’s Inequality. „Forum Geometricorum”. 4, s. 199-201, 2004. ISSN 1534-1178.  FG200422. [dostęp 2015-09-19]. (ang.).
  • Paul J. Nahin: When Least is Best: How Mathematicians Discovered Many Clever Ways to Make Things as Small (or as Large) as Possible. Princeton University Press, 2004, s. 67. ISBN 0-691-07078-4. (ang.).
  • Н. А. Извольский: О треугольнике минимального периметра, вписанном в остроугольный треугольник. W: Математическое просвещение. Сборник статей по элементарной и началам высшей математики. Pod red. Р. Н. Бончковского. Leningrad: 1937, s. 5-10. mp1-10. [dostęp 2015-09-19]. (ros.).

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Problem_Fagnana&oldid=73877753”