Przestrzeń M (Marcinkiewicza)

Przestrzeń metryczna $(X,\varrho ),$ gdzie X jest zbiorem dystrybucji dla którego jest spełnione:

$\forall _{\tau },$   gdzie $\tau$ – skończone,

istnieje całka Lebesgue’a: $\int \limits _{-\tau }^{\tau }\left|x(t)\right\vert ^{2}\,dt$

i istnieje skończona granica:

${\overline {\lim _{\tau \to \infty }}}{\frac {1}{2\tau }}\int \limits _{-\tau }^{\tau }\left|x(t)\right\vert ^{2}\,dt,$

gdzie ${\overline {\lim }}$ jest granicą górną.

X dzielimy na klasy abstrakcji ze względu na relację:

$x\backsim y\Leftrightarrow {\overline {\lim _{\tau \to \infty }}}{\frac {1}{2\tau }}\int \limits _{-\tau }^{\tau }\left|x(t)-y(t)\right\vert ^{2}\,dt=0,$

$x,y\in X.$

Metryka $\varrho (x,y)={\overline {\lim _{\tau \to \infty }}}{\sqrt {{\frac {1}{2\tau }}\int \limits _{-\tau }^{\tau }\left|x(t)-y(t)\right\vert ^{2}\,dt}},$

$x,y\in X.$

Przestrzeń M jest przestrzenią zupełną i jest nazywana przestrzenią sygnałów o ograniczonej mocy średniej.

Zobacz też

• Józef Marcinkiewicz