Przestrzeń Sobolewa

Przestrzeń Sobolewa – przestrzeń Banacha funkcji będących elementami przestrzeni L^p, których słabe pochodne (ustalonego rzędu) istnieją i również należą do L^p. Przestrzenie Sobolewa są stosowane w teorii równań różniczkowych cząstkowych i rachunku wariacyjnym.

Konstrukcja

Niech $m$ i $n$ będą ustalonymi liczbami naturalnymi, $p$ będzie liczbą z przedziału $[1,\infty )$ oraz $\Omega$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb {R} ^{n}.$ Przestrzenią Sobolewa $W^{m,p}(\Omega )$ nazywa się przestrzeń wszystkich tych funkcji $u\in L^{p}(\Omega ),$ dla których $D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega ),$ gdzie $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ jest wielowskaźnikiem spełniającym warunek

$|\alpha |=\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n}\leqslant m,$

oraz symbol $D^{\alpha }u$ oznacza słabą pochodną funkcji $u$ rzędu $\alpha .$

Przestrzeń $W^{m,p}(\Omega )$ jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

$\|u\|_{W^{m,p}}=(\sum _{|\alpha |\leqslant m}\|D^{\alpha }u\|_{L^{p}}^{p})^{\frac {1}{p}},$

w przypadku $1\leqslant p<\infty$ oraz:

$\|u\|_{W^{m,p}}=\sum _{|\alpha |\leqslant m}\|D^{\alpha }u\|_{L^{\infty }}$

w przypadku $p=\infty .$

Własności

• $W^{0,p}(\Omega )=L^{p}(\Omega ).$
• Przestrzeń $H^{m}(\Omega ):=W^{m,2}(\Omega )$ jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym danym wzorem

$\langle u,v\rangle _{H^{m}}=\sum _{|\alpha |\leqslant m}\langle D^{\alpha }u,D^{\alpha }v\rangle _{L^{2}}.$

Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Sobolewa

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa $W^{m,p}(\Omega )$ dla $1\leqslant p<\infty$ jest izometrycznie izomorficzna z pewną podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na $\Omega$ (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech $N$ oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od $m,$ tzn.

$N=\sum _{1\leqslant |\alpha |\leqslant m}\ 1,$

oraz $L_{N}^{p}=L^{p}(\Omega )\times \ldots \times L^{p}(\Omega ).$ Przestrzeń $L_{N}^{p}$ jest przestrzenią Banacha z normą

$\|(u_{1},\dots ,u_{N})\|=\left(\sum _{j=1}^{N}(\|u_{j}\|_{L^{p}})^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.$

Przestrzeń sprzężona $(W^{m,p}(\Omega ))^{*}$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią złożoną z tych dystrybucji $T$ na $\Omega ,$ dla których

$T=\sum _{1\leqslant |\alpha |\leqslant m}\ (-1)^{|\alpha |}D^{\alpha }T_{v_{\alpha }},$

dla pewnego $v=(v_{\alpha })_{1\leqslant |\alpha |\leqslant m}\in L_{N}^{q}$ oraz $q$ jest wykładnikiem sprzężonym do $p.$ Ponadto,

$\|T\|_{Y}=\inf \|v\|_{L_{N}^{q}},$

gdzie kres brany jest po wszystkich $v\in L_{N}^{q},$ dla których $T$ można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje inny sposób charakteryzacji przestrzeni $(W^{m,p}(\Omega ))^{*}$ dla $1\leqslant p<\infty {:}$ Przestrzeń $(W^{m,p}(\Omega ))^{*}$ można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni

$L^{q}(\Omega ):=L_{\sim }^{q}$

wyposażonej w normę

$\|v\|_{L_{\sim }^{q}}=\sup\{\langle u,v\rangle \colon \,u\in W^{m,p}(\Omega ),\|u\|_{W^{m,p}(\Omega )}\leqslant 1\},$

tzn.

$(W^{m,p}(\Omega ))^{*}={\overline {L_{\sim }^{q}}}$

gdzie $q$ jest wykładnikiem sprzężonym do $p.$

Bibliografia

• Lawrence C. Evans: Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002.brak strony w książce