Punkt ekstremalny

Zbiór wypukły (kolor niebieski) wraz ze swoimi punktami ekstremalnymi (czerwone linie)

Punkt ekstremalny zbioru wypukłego – punkt zbioru wypukłego, który nie leży wewnątrz żadnego niezdegenerowanego odcinka zawartego w tym zbiorze. Równoważnie, punkt $e\in K$ jest punktem ekstremalnym zbioru wypukłego $K,$ gdy równość

$e=\lambda x+(1-\lambda )y$

dla pewnych $x,y\in K$ oraz $\lambda \in [0,1]$ implikuje, że $e=x$ lub $e=y$. Zbiór punktów ekstremalnych zbioru wypukłego $K$ oznaczany bywa symbolem $\mathrm {ext} \,K.$

Charakterystyka

Niech $K$ będzie wypukłym podzbiorem rzeczywistej bądź zespolonej przestrzeni liniowej $X$ oraz $e\in K.$ Wówczas następujące warunki są równoważne:

1. $e\in \mathrm {ext} \,K,$
2. jeżeli $x,y$ są takimi elementami $X,$ że $e=(x+y)/2,$ to co najmniej jeden z tych elementów nie należy do $K$ albo $x=y=e,$
3. jeżeli $\lambda \in [0,1]$ oraz $x,y$ są takimi elementami $X,$ że $e=\lambda x+(1-\lambda )y,$ to co najmniej jeden z tych elementów nie należy do $K$ albo $x=y=e,$
4. jeżeli $F$ jest skończonym podzbiorem $K$ oraz $e$ należy do otoczki wypukłej zbioru $F,$ to $e\in F,$
5. zbiór $K\setminus \{e\}$ jest wypukły.

Przykłady

• Każdy z czterech wierzchołków dowolnego prostokąta jest punktem ekstremalnym; są to jedyne punkty ekstremalne w prostokącie.
• Każdy punkt na brzegu (okrąg) koła domkniętego jest punktem ekstremalnym.
• Niech $K$ będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Każdy punkt eksponowany zbioru $K$ jest również punktem ekstremalnym. W skończonych wymiarach, każdy punkt ekstremalny zwartego zbioru wypukłego $K$ w przestrzeni euklidesowej jest granicą ciągu punktów eksponowanych (twierdzenie Straszewicza). W szczególności,

$K={\overline {\mathrm {conv} }}\,\exp \,K$.

• Niech $X$ będzie przestrzenią unormowaną. Wówczas $X$ jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy sfera jednostkowa $X$ jest zbiorem punktów ekstremalnych domkniętej kuli jednostkowej tej przestrzeni.
• Niech $\mu$ będzie miarą $\sigma$-skończoną oraz niech $B_{p}$ oznacza domkniętą kulę jednostkową przestrzeni $L_{p}(\mu )$, gdzie $1\leqslant p\leqslant \infty .$ Wówczas
  • punkty ekstremalne $B_{1}$ są postaci $\lambda \cdot \mathbb {1} _{A},$ gdzie $A$ jest atomem miary $\mu$ oraz $\lambda$ jest takim skalarem, że $|\lambda |=\mu (A)^{-1},$
  • gdy $1<p<\infty ,$ zbiorem punktów ekstremalnych $B_{p}$ jest sfera jednostkowa, tj. zbiór funkcji o normie $1,$
  • zbiór punktów ekstremalnych $B_{\infty }$ składa się z funkcji $f,$ które spełniają warunek $|f(\omega )|=1$ dla prawie wszystkich $\omega$.

W szczególności, kula jednostkowa przestrzeni $L_{1}[0,1]$ nie ma punktów ekstremalnych.

• W domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni $C[0,1]$ rzeczywistych funkcji ciągłych na $[0,1],$ punktami ekstremalnymi są funkcje stale równe $1$ bądź $-1,$ tj. są tylko dwa takie punkty. Ogólniej, jeżeli $X$ jest przestrzenią całkowicie regularną, to punktami ekstremalnymi domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni $C_{b}(X)$ ograniczonych funkcji skalarnych na $X$ są funkcje spełniające warunek $|f(x)|=1$ dla wszystkich $x\in X$.
• Niech $H^{\infty }$ oznacza przestrzeń ograniczonych funkcji analitycznych na kole $|z|<1$ z normą supremum. Zbiór punktów ekstremalnych kuli jednostkowej tej przestrzeni składa się z tych funkcji $f\in H^{\infty },$ które mają normę co najwyżej $1$ oraz

$\int _{-\pi }^{\pi }\log[1-f(e^{i\theta })]\,\mathrm {d} \theta =-\infty$.

Brak punktów ekstremalnych domkniętej kuli jednostkowej $c_{0}$

Niech $B$ oznacza domkniętą kulę jednostkową przestrzeni $c_{0}$, tj. przestrzeni wszystkich ciągów liczbowych zbieżnych do $0.$ Niech $x\in B.$ Istnieje wówczas takie $N,$ że dla $n>N$ zachodzi $|x_{n}|<1/2.$ Niech $c,d$ będą takimi ciągami liczbowymi, które spełniają $c_{n}=d_{n}=x_{n}$ dla $n=1\ldots N$ oraz $c_{n}=x_{n}+2^{-n},$ $d_{n}=x_{n}-2^{-n}$ dla $n>N.$ Tak zdefiniowane ciągi $c,d$ należą do $B,$ są różne od $x$ oraz $x=(c+d)/2,$ co oznacza, że $x$ nie jest punktem ekstremalnym $B$.

Twierdzenia dotyczące punktów ekstremalnych w analizie funkcjonalnej

• Twierdzenie Krejna-Milmana: Niech $K$ będzie zwartym i wypukłym podzbiorem lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej. Wówczas

$K={\overline {\mathrm {conv} }}\,\mathrm {ext} \,K,$

tj. $K$ jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych.

• Twierdzenie Milmana: Niech $K$ będzie zwartym podzbiorem lokalnie wypukłej przestrzeni liniowo-topologicznej o tej własności, że domknięcie otoczki wypukłej $K$ jest zwarte. Wówczas

$\mathrm {ext} \,{\overline {\mathrm {conv} }}\,K\subseteq K$.

W konsekwencji, z twierdzenia Krejna-Szmuljana wynika, że jeżeli $K$ jest słabo zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha, to zbiór punktów ekstremalnych otoczki wypukłej zbioru $K$ zawiera się w $K$.

• Każdy niepusty, domknięty i wypukły podzbiór przestrzeni mającej własność Radona-Nikodýma ma punkt ekstremalny.
• Twierdzenie Rainwatera: Niech $(x_{n})$ będzie ciągiem ograniczonym w przestrzeni Banacha $X.$ Wówczas ciąg ten jest słabo zbieżny do pewnego elementu $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu ekstremalnego $f$ kuli jednostkowej przestrzeni $X^{*}$ zachodzi warunek

$\lim _{n\to \infty }\langle f,x_{n}\rangle =\langle f,x\rangle$.

• Niech $A$ będzie $C^{*}$-algebrą. Element domkniętej kuli jednostkowej w $A$ jest punktem ekstremalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on elementem unitarnym. W szczególności, jeżeli kula $A$ ma punkt ekstremalny, to algebra $A$ ma jedynkę. Analogiczne twierdzenie nie zachodzi dla algebr operatorów na przestrzeniach Banacha, które nie są przestrzeniami Hilberta. Dla każdego $p\neq 2,$ kula jednostkowa algebry operatorów zwartych na przestrzeni $\ell _{p}$ ma punkty ekstremalne mimo tego, że algebra ta nie ma jedynki.

Bibliografia

• John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990. ISBN 0-387-97245-5. OCLC 472303305. (ang.).
• Joseph Diestel, John Jerry (Jr.) Uhl: Vector Measures. Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.
• Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Springer-Verlag, 1984, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-90859-5.
• Kenneth Hoffman: Banach Spaces of Analytic Functions. Courier Corporation, 2014. ISBN 978-0486458748.
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
• Rolf Schneider: Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge University Press, 1993, seria: Encyclopedia of Mathematics and its Applications. ISBN 978-0521352208.
• Masamichi Takesaki: Theory of Operator Algebras I. Springer-Verlag, 1979. ISBN 978-3-540-42248-8. OCLC 495494749. (ang.).