Równoległościan wielowymiarowy

Równoległościan wielowymiarowy – uogólnienie pojęcia równoległoboku i równoległościanu na przestrzenie liniowe bądź afiniczne (w tym unitarne i euklidesowe) dowolnego wymiaru; można go zdefiniować jako bijektywny obraz liniowy bądź afiniczny kostki wielowymiarowej.

Niech $k\leqslant n.$ Jeśli $\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k}$ są liniowo niezależnymi wektorami $n$-wymiarowej przestrzeni liniowej $V,$ to $k$-wymiarowym równoległościanem opartym na tych wektorach nazywa się zbiór

$\mathrm {R} (\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k})=\left\{\sum _{i=1}^{k}t_{i}\mathbf {x} _{i}\colon 0\leqslant t_{i}\leqslant 1\right\}.$

Powyższą definicję można przenieść wprost na przestrzenie afiniczne: jeśli $(A,V)$ jest $n$-wymiarową przestrzenią afiniczną (w szczególności może być $A=V$) i danych jest $k\leqslant n$ liniowo niezależnych wektorów $\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k}$ przestrzeni $V,$ to $k$-wymiarowym równoległościanem opartym na wymienionych wektorach i zaczepionym w pewnym punkcie $a\in A$ nazywa się zbiór

$\mathrm {R} (\mathrm {a} ;\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k})=\left\{a+\sum _{i=1}^{k}t_{i}\mathbf {x} _{i}\colon 0\leqslant t_{i}\leqslant 1\right\}=\mathrm {a} +\mathrm {R} (\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k}).$

Objętość

Jeśli $V$ jest unitarna (zdefiniowano na niej iloczyn skalarny), to można określić $m$-wymiarową objętość równoległościanu $\mathbf {R} (\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k})$ jako

${\big |}\mathrm {R} (\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k}){\big |}_{m}={\begin{cases}0,&{\text{ dla }}m>k,\\{\sqrt {G(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k})}},&{\text{ dla }}m=k,\\\infty ,&{\text{ dla }}m<k,\end{cases}}$

gdzie $G(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k})$ oznacza wyznacznik Grama wektorów $\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{k}.$ Analogicznie określa się objętość równoległościanu w przestrzeniach euklidesowych (przestrzeniach afinicznych z iloczynem skalarnym).

Tak wprowadzona objętość ma własności miary dla równoległościanów i tak jak objętość prostopadłościanów wielowymiarowych jest zgodna z miarą Jordana, czy miarą Lebesgue’a tych figur (w istocie obu można użyć do ich zdefiniowania – zob. objętość przedziału wielowymiarowego).

Objętość $m$-wymiarowa równoległościanu $m$-wymiarowego w dowolnej m-wymiarowej przestrzeni $V$ rozpiętego na wektorach $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\dots ,\mathbf {x} _{m},$ gdzie wektor $\mathbf {x} _{i}$ ma w ustalonej bazie współrzędne $(\mathbf {a} _{i1},\mathbf {a} _{i2},\dots ,\mathbf {a} _{im}),$ oblicza się następująco:

$\mathbf {V} =\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&\dots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mm}\end{bmatrix}}.$

Wyznacznik ten można traktować jako zorientowaną objętość.

Zobacz też

• przedział wielowymiarowy