Trójkąt potrójnie asymptotyczny

Trójkąt potrójnie asymptotyczny – figura utworzona z trzech prostych, z których każde dwie są równoległe do siebie w pewnym kierunku.

Konstrukcja trójkąta potrójnie asymptotycznego

Można udowodnić, że:

Każda para promieni nierównoległych ma jedną wspólną prostą równoległą.

Wykorzystując to twierdzenie, można skonstruować trójkąt potrójnie asymptotyczny na co najmniej dwa sposoby.

Sposób 1

Niech $AB$ i $CD$ będą promieniami równoległymi o początkach odpowiednio $A$ i $C.$ Wtedy promienie uzupełniające $A/B$ i $C/D$ są nierównoległe, bo odległość między ich punktami rośnie. Dlatego istnieje prosta $p$ równoległa zarówno do $A/B,$ jak i do $C/D.$ Dlatego proste $AB,$ $CD$ i $p$ są parami równoległe, czyli tworzą trójkąt potrójnie asymptotyczny.

Konstrukcja Gaussa trójkąta potrójnie asymptotycznego

Sposób 2 (Gaussa)

Niech $A,$ $B$ i $C$ będą trzema punktami płaszczyzny hiperbolicznej. Wtedy $ABC$ jest trójkątem (skończonym). Promienie $A/B,$ $C/A$ i $B/C$ są parami nierównoległe, bo proste $AB,$ $CA$ i $BC$ są nierównoległe. Jeśli:

• prosta $p$ jest wspólną prostą równoległą do promieni $A/B$ i $C/A,$
• prosta $q$ jest wspólną prostą równoległą do promieni $C/A$ i $B/C,$
• prosta $r$ jest wspólną prostą równoległą do promieni $B/C$ i $A/B,$

to proste $p,$ $q$ i $r$ tworzą trójkąt potrójnie asymptotyczny.

Własności

• Każde dwa trójkąty potrójnie asymptotyczne są przystające.
• Każdy trójkąt potrójnie asymptotyczny ma pole skończone.
• Z twierdzenia Bolyai wynika, że wszystkie kąty trójkąta potrójnie asymptotycznego są kątami zerowymi.
• Z twierdzenia Gaussa wynika, że pole $\Delta$ dowolnego trójkąta $ABC$ o skończonych bokach jest stałą wielokrotnością defektu trójkąta

$\Delta =\mu (\pi -\measuredangle A-\measuredangle B-\measuredangle C).$

Wtedy pole każdego trójkąta potrójnie asymptotycznego jest równe

$\Delta =\mu \cdot \pi .$

• Punkty styczności okręgu wpisanego w trójkąt potrójnie asymptotyczny są wierzchołkami trójkąta równobocznego o boku

$d=4\ln \varphi \approx 1{,}925,$

gdzie $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ jest złotym stosunkiem

Zastosowania w grafice

Parkietaż złożony z trójkątów potrójnie asymptotycznych

Parkietaż złożony z trójkątów potrójnie asymptotycznych o grupie symetrii trójkąta równobocznego

Podobnie jak trójkąty asymptotyczne i trójkąty podwójnie asymptotyczne trójkąty potrójnie asymptotyczne można wykorzystywać w grafice do tworzenia parkietaży koła.

Bibliografia

• Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.brak strony w książce
• Carslaw H.S.: The Elements of Non-euclidean Plane Geometry and Trigonometry. London: 1916.brak strony w książce