Przejdź do zawartości

Twierdzenia Hohenberga-Kohna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Twierdzenia Hohenberga-Kohna są podstawą kwantowochemicznej teorii funkcjonału gęstości.

Pierwsze twierdzenie Hohenberga-Kohna[edytuj | edytuj kod]

Pierwsze twierdzenie Hohenberga-Kohna głosi, że dla niezdegenerowanego stanu podstawowego, energia układu jest jednoznacznie określona przez jego gęstość elektronową, czyli że energia układu jest funkcjonałem gęstości elektronowej. Warto zauważyć, że pierwsze twierdzenie Hohenberga-Kohna nie podaje postaci tego funkcjonału, a jedynie stwierdza jego istnienie.

W postaci bardziej ogólnej, pierwsze twierdzenie Hohenberga-Kohna stwierdza, że istnieje jednoznaczny związek między gęstością elektronową a potencjałem zewnętrznym układu, a zatem nie tylko jego energią, ale wszystkimi obserwablami. Pierwsze twierdzenie Hohenberga-Kohna można też uogólnić na stany zdegenerowane.

Dowód pierwszego twierdzenia Hohenberga-Kohna (dowód nie wprost)[edytuj | edytuj kod]

Założmy, że gęstości stanu podstawowego odpowiadają dwa różne potencjały zewnętrzne i (oraz hamiltoniany i ), a zatem też dwie różne funkcje falowe, i

Z zasady wariacyjnej wynika, że:

Analogicznie:

Prowadzi to zatem do sprzeczności:

co dowodzi fałszywości założeń początkowych i tym samym prawdziwości pierwszego twierdzenia Hohenberga-Kohna.

Drugie twierdzenie Hohenberga-Kohna[edytuj | edytuj kod]

jest odpowiednikiem zasady wariacyjnej w teorii funkcjonałów gęstości i głosi, że gdy oblicza się energię stanu podstawowego dla próbnych gęstości elektronowych, minimum energii występuje dla dokładnej gęstości elektronowej stanu podstawowego.

Twierdzenia Hohenberga-Kohna sformułowane zostały przez Pierre’go Hohenberga i Waltera Kohna w 1964 roku.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • P. Hohenberg, W. Kohn: Inhomogeneous Electron Gas. Phys. Rev. 136 (1964) B864-B871.