Twierdzenie Gliwienki-Cantellego – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa opisujące asymptotyczne zachowanie dystrybuanty empirycznej w miarę wzrostu liczebności próby losowej[1]. Zgodnie z tym twierdzeniem dystrybuanta empiryczna zbiega jednostajnie do prawdziwej dystrybuanty prawie na pewno (p.n.). Twierdzenie Gliwienki-Cantellego nazywane jest podstawowym twierdzeniem statystyki matematycznej[2].
Dla niezależnych rzeczywistych zmiennych losowych
o jednakowym rozkładzie określonym dystrybuantą
dystrybuanta empiryczna
zdefiniowana jest następująco:
| | , |
|
|
gdzie
oznacza funkcję charakterystyczną (indykator) zbioru
Niech
.
Jeżeli próba
pochodzi z rozkładu o dystrybuancie
, to
z prawdopodobieństwem 1, gdy
Dla ułatwienia rozważmy ciągłą zmienną losową
. Ustalmy
, aby
dla
. Teraz dla każdego
istnieje
, takie że
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(x)-F(x)&\leq F_{n}(x_{j})-F(x_{j-1})=F_{n}(x_{j})-F(x_{j})+{\frac {1}{m}},\\F_{n}(x)-F(x)&\geq F_{n}(x_{j-1})-F(x_{j})=F_{n}(x_{j-1})-F(x_{j-1})-{\frac {1}{m}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6900ab0b263c6bb9f7a13c3dea8d3c5c0a738ae0)
Stąd
![{\displaystyle \|F_{n}-F\|_{\infty }=\sup _{x\in \mathbb {R} }|F_{n}(x)-F(x)|\leq \max _{j\in \{1,\dots ,m\}}|F_{n}(x_{j})-F(x_{j})|+{\frac {1}{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92e9eed0beb54f64d0922aa0a8a22fbb017f4b3e)
Ponieważ na podstawie mocnego prawa wielkich liczb
, możemy zapewnić, że dla dowolnego dodatniego
i dowolnej liczby całkowitej
, takiej że
, można znaleźć
taką że dla każdego
, mamy
W powiązaniu z powyższym rezultatem, oznacza to dalej, że
, co było do okazania.