Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Twierdzenie Hyersa-Rassiasa-Gajdy – twierdzenie teorii równań funkcyjnych będące (częściową) odpowiedzią na poniższy problem Ulama .
Niech
G
1
{\displaystyle G_{1}}
grupą i niech
G
2
{\displaystyle G_{2}}
metryką
d
.
{\displaystyle d.}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
odwzorowanie
h
:
G
1
→
G
2
,
{\displaystyle h\colon G_{1}\to G_{2},}
d
(
h
(
x
y
)
,
h
(
x
)
h
(
y
)
)
<
δ
{\displaystyle d(h(xy),h(x)h(y))<\delta }
x
,
y
∈
G
1
,
{\displaystyle x,y\in G_{1},}
to istnieje homomorfizm
H
:
G
1
→
G
2
{\displaystyle H\colon G_{1}\to G_{2}}
d
(
h
(
x
)
,
H
(
x
)
)
<
ε
{\displaystyle d(h(x),H(x))<\varepsilon }
x
∈
G
1
{\displaystyle x\in G_{1}}
Twierdzenie Hyersa-Rassiasa-Gajdy [ edytuj | edytuj kod ] Niech
E
{\displaystyle E}
przestrzenią unormowaną oraz
F
{\displaystyle F}
przestrzenią Banacha . Jeśli
f
:
E
→
F
{\displaystyle f\colon E\to F}
⋁
p
∈
[
0
,
∞
)
∖
{
1
}
⋀
x
,
y
∈
E
‖
f
(
x
+
y
)
−
f
(
x
)
−
f
(
y
)
‖
F
⩽
θ
(
‖
x
‖
E
p
+
‖
y
‖
E
p
)
,
{\displaystyle \bigvee _{p\in [0,\infty )\setminus \{1\}}\bigwedge _{x,y\in E}\|f(x+y)-f(x)-f(y)\|_{F}\leqslant \theta (\|x\|_{E}^{p}+\|y\|_{E}^{p}),}
to istnieje dokładnie jedna addytywna funkcja
c
:
E
→
F
,
{\displaystyle c\colon E\to F,}
‖
f
(
x
)
−
c
(
x
)
‖
F
⩽
2
θ
|
2
−
2
p
|
‖
x
‖
E
p
{\displaystyle \|f(x)-c(x)\|_{F}\leqslant {\frac {2\theta }{|2-2^{p}|}}\|x\|_{E}^{p}\;{}}
x
∈
E
.
{\displaystyle {}\;x\in E.}
Liviu Câdariu, Viorel Radu: Fixed Points and the stability of Jensen’s Functional Equation . J. Ineq. Pure And Appl. Math. 4(1), 2003. brak strony w książce 
