Twierdzenie Junga

Twierdzenie Junga – nierówność pomiędzy średnicą zbioru punktów w dowolnej przestrzeni euklidesowej

Twierdzenie

Rozważmy przestrzeń zwartą

$K\subset \mathbb {R} ^{n}$

i niech

$d=\max \nolimits _{p,q\in K}\|p-q\|_{2}$

będzie średnicą zbioru $K,$ to znaczy największą odległością euklidesową pomiędzy dowolnymi dwoma punktami w $K.$ Twierdzenie Junga mówi, że istnieje zamknięta kula o promieniu

$r\leqslant d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}},$

która zawiera $K.$ Przypadek graniczny występuje w przypadku $n$-wymiarowego sympleksu foremnego.

Twierdzenie Junga na płaszczyźnie

Najczęściej twierdzenie Junga stosuje się do płaszczyzny, to znaczy przypadek $n=2.$ W tym przypadku twierdzenie mówi, że istnieje koło zawierające zbiór $K$ o promieniu

$r\leqslant {\frac {d}{\sqrt {3}}}.$

Nie można pokazać lepszego ograniczenia: gdy $S$ jest trójkątem równobocznym (lub jego trzema wierzchołkami), wtedy

$r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.$

Inne przestrzenie metryczne

Dla dowolnego ograniczonego zbioru $S,$ w dowolnej przestrzeni metrycznej $d/2\leqslant r\leqslant d.$ Pierwsza nierówność wynika z nierówności trójkąta dla środka kuli oraz dwóch przeciwległych punktów, a druga wynika z tego, że kula o promieniu $d$ ze środkiem w dowolnym punkcie w $S$ będzie zawierała cały zbiór $S.$ W przestrzeni metrycznej dyskretnej, to znaczy w przestrzeni, w której wszystkie odległości są równe $r=d.$ Z drugiej strony, w przestrzeniach hiperwklęsłych, takich jak metryka miejska na płaszczyźnie $r=d/2{:}$ dowolne dwie zamknięte kule o promieniu $d/2$ o środkach w $S$ mają niepuste przecięcie, a więc wszystkie takie kule mają wspólne przecięcie, a promień $d/2$ kuli o środku w tym przecięciu zawiera cały zbiór $S.$ Znane są także wersje twierdzenia Junga dla innych geometrii nieeuklidesowych (np. Dekster 1995, 1997).

Bibliografia

• Katz, M. Twierdzenie Junga w rzutowej geometrii zespolonej. „Quart. J. Math. Oxford”. 36 (4), s. 451–466, 1985. DOI: 10.1093/qmath/36.4.451. (ang.). 
• Dekster, B. V. Twierdzenie Junga dla przestrzeni sferycznych i hiperbolicznych. „Acta Math. Sci. Hungar.”. 67 (4), s. 315–331, 1995. DOI: 10.1007/BF01874495. (ang.). 
• Dekster, B. V. Twierdzenie Junga w przestrzeniach metrycznych o ograniczonej z góry krzywiźnie. „Proceedings of the American Mathematical Society”. 125 (8), s. 2425–2433, 1997. DOI: 10.1090/S0002-99. (ang.). 
• Jung, Heinrich. Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschließt. „J. Reine Angew. Math.”. 123, s. 241–257, 1901. (ang.). 
• Jung, Heinrich. Über den kleinsten Kreis, der eine ebene Figur einschließt. „J. Reine Angew. Math.”. 137, s. 310–313, 1910. (ang.). 
• Rademacher, Hans, Toeplitz, Otto: The Enjoyment of Mathematics. Dover, 1990, s. chapter 16. ISBN 978-0-486-26242-0. (ang.).

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Jung’s Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).