Twierdzenie Kuratowskiego-Steinhausa (teoria miary)

Twierdzenie Kuratowskiego-Steinhausa – twierdzenie teorii miary mówiące o pewnej własności miary Lebesgue’a, związanej z niezmienniczością tej miary ze względu na przesunięcia.

Twierdzenie

Mając dany podział przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ na sektory $S_{1},\dots ,S_{n+1}$ oraz ograniczony podzbiór $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mierzalny, o mierze dodatniej, można tak go przesunąć, by jego przekroje z sektorami miały miary w danej z góry proporcji. Innymi słowy dla dowolnych liczb nieujemnych $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n+1}$ takich, że

$\alpha _{1}+\ldots +\ldots \alpha _{n+1}=1$

istnieje taki wektor $x\in \mathbb {R} ^{n},$ że

$\alpha _{j}={\frac {l_{n}((A+x)\cap S_{j})}{l_{n}(A)}}$

dla $j\leqslant n+1,$ gdzie $l_{n}$ oznacza $n$-wymiarową miarę Lebesgue’a.

Komentarze

Dowód podany przez Kuratowskiego i Steinhausa oparty jest na twierdzeniu Brouwera o punkcie stałym. Karol Borsuk podał inny dowód tego twierdzenia w oparciu o twierdzenie Borsuka-Ulama.

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski, Hugo Steinhaus: Une application géometriqe du théorème de Brouwer sur les points invariants. Warszawa: Bull. de l’Academie Pol. Sci., Cl. III, 1, 1953, s. 83–86.
• Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994, s. 81.