Twierdzenie Nikodyma o ograniczoności

Twierdzenie Nikodyma o ograniczoności – twierdzenie udowodnione przez Ottona Nikodyma w 1933 roku, które gwarantuje jednostajną ograniczoność rodziny miar wektorowych na danym σ-ciele zbiorów, o ile są one punktowo jednostajnie ograniczone.

Nikodym udowodnił pierwotnie twierdzenie dla miar przyjmujących wartości skalarne. Poniższa wersja sformułowana dla miar wektorowych pochodzi od Drewnowskiego.

Twierdzenie

Niech ${\mathcal {F}}$ będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego zbioru $\Omega$ oraz niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Jeżeli $\{\mu _{t}\colon t\in T\}$ jest taką rodziną miar wektorowych na $A$ przyjmujących wartość w $X,$ że gdy dla każdego zbioru $A\in {\mathcal {F}}$ zachodzi

$\sup _{t\in T}\|\mu _{t}(A)\|<\infty ,$

to

$\sup _{t\in T}\|\mu _{t}\|(\Omega )<\infty ,$

gdzie $\|\mu \|$ oznacza półwahanie miary $\mu$.

Bibliografia

• Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.brak strony w książce