Twierdzenie Phragména-Lindelöfa

Twierdzenie Phragména-Lindelöfa – Uogólnienie zasady maksymalnego modułu dla funkcji analitycznych na przypadek funkcji, które są z góry określone jako nieograniczone; po raz pierwszy zostało podane w najprostszej formie przez E. Phragména i E. Lindelöfa. Niech dana będzie funkcja ciągła $f(z)$ o argumentach zespolonych oraz ograniczona dla argumentów zawartych w przedziale $\alpha \leqslant a\leqslant \beta$ i holomorficzna wewnątrz tegoż przedziału. Jeśli dla $a=\alpha$ i $a=\beta$ istnieje takie $M,$ że zachodzi $|f(z)|\leqslant M,$ to $\forall _{z\in <\alpha ,\beta >}\colon |f(z)|\leqslant M.$

Jeżeli ponadto $\exists _{q\in <\alpha ,\beta >}\colon |f(q)|=M,$ to $f$ jest funkcją stałą.

Dowód

• Załóżmy, że

$f(a+b\cdot i)\to 0$

jednostajnie dla $b$ dążącego do $\pm \infty$ dla $z\in <\alpha ,\beta >.$

Niech $q=a_{q}+b_{q}\cdot i\in <\alpha ,\beta >.$

Wtedy $\exists _{m>|b_{q}|}\forall _{|b|\geqslant m}\exists _{a\in <\alpha ,\beta >}\colon |f(a+b\cdot i)|\leqslant M.$

Niech $P$ będzie wnętrzem prostokąta wyznaczonego przez zbiór:

$Pr=\{a+b\cdot i\ :\ \alpha \leqslant a\leqslant \beta \ \land \ -m\leqslant b\leqslant m\}.$

Jeżeli funkcja $f$ jest stała, to twierdzenie jest w oczywisty sposób prawdziwe. W przeciwnym przypadku $f$ nie jest stała w $<\alpha ,\beta >,$ wtedy nie może być stała w $P,$ i na podstawie zasady maksimum $f$ nie osiąga kresu górnego w $P.$ Ponieważ $|f(z)|$ jest ciągła w $Pr,$ to $|f(z)|$ osiąga swój kres górny w $Pr.$ Punkt w którym osiąga ona swój kres górny, nie może należeć do $P,$ a ponieważ $|f(z)|\leqslant M$ na bokach prostokąta $Pr,$ więc $|f(z)<M$ w $P,$ w szczególności $|f(q)|<M.$

• Niech $f_{n}(z)=f(z)\cdot \exp ^{z^{\frac {2}{n}}}=f(z)\cdot \exp ^{\frac {a^{2}+b^{2}}{n}}\cdot \exp ^{\frac {2\cdot i\cdot a\cdot b}{n}}$ dla $n=1,2,\dots$

będzie funkcją. Jest ona ciągła oraz ograniczona i holomorficzna w $<\alpha ,\beta >.$ Dodatkowo dla $x=\alpha$ i $x=\beta$ zachodzi:

$|f_{n}(z)|=|f(z)|\cdot \exp ^{\frac {a^{2}+b^{2}}{n}}\leqslant |f(z)|\cdot \exp ^{\frac {\delta ^{2}}{n}}$ dla $\delta =\max(|\alpha |,|\beta |).$

Ponadto jeżeli $W$ jest stałą wartością ograniczającą $f(z)$ w $<\alpha ,\beta >,$ to przy $y\to \pm \infty$ jednostajnie dla $a\in <\alpha ,\beta >$ zachodzi:

$|f_{n}(a+b\cdot i|\leqslant |f(a+b\cdot i)\cdot \exp ^{\frac {\delta ^{2}}{n}}\cdot \exp ^{\frac {-b^{2}}{n}}\leqslant W\cdot \exp ^{\frac {\delta ^{2}}{n}}\cdot \exp ^{\frac {-b^{2}}{n}}\to 0.$

A więc $f_{n}(z)$ spełnia założenia pierwszej części dowodu.

Jeżeli $q\in <\alpha ,\beta >,$ to $|f_{n}(q)|<M\cdot \exp ^{\frac {\delta ^{2}}{n}}.$ Przy $n\to \infty$ $|f(q)\leqslant M.$ Jeżeli $|f(q)|=M,$ to biorąc otoczenie $G$' punktu $q,$ leżące wewnątrz $<\alpha ,\beta >,$ otrzymuje się $f(z)|\leqslant M$ dla $z\in G'.$ Po zastosowaniu zasady maksimum dla obszaru $G$' otrzymuje się wniosek, że $f$ jest stała w $G$'. Ponieważ $G'\in <\alpha ,\beta >,$ więc $f$ jest stała w $<\alpha ,\beta >.$