Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Twierdzenie Rao-Blackwella :
Niech A będzie wypukłym zbiorem decyzji, i niech
L
(
a
,
θ
)
{\displaystyle L(a,\theta )}
wypukłą funkcją parametru
a
,
{\displaystyle a,}
θ
{\displaystyle \theta }
T
{\displaystyle T}
statystyką dostateczną a
d
{\displaystyle d}
d
0
=
E
(
d
|
T
)
{\displaystyle d_{0}=E(d|T)}
T
{\displaystyle T}
d
.
{\displaystyle d.}
Dowód:
Lemat:
Niech
C
{\displaystyle C}
Z
{\displaystyle Z}
zmienną losową taką, że
P
(
Z
∈
C
)
=
1
{\displaystyle P(Z\in C)=1}
E
Z
∈
C
{\displaystyle EZ\in C}
A jest zbiorem wypukłym , a więc
d
0
∈
A
,
{\displaystyle d_{0}\in A,}
d
0
{\displaystyle d_{0}}
regułą decyzyjną .
T
{\displaystyle T}
warunkowej wartości oczekiwanej niezależną od
θ
.
{\displaystyle \theta .}
R
(
d
,
ϑ
)
=
E
L
(
d
,
ϑ
)
=
E
[
E
(
L
(
d
,
ϑ
)
|
T
]
⩾
E
[
L
(
E
(
d
|
T
)
,
ϑ
)
]
=
E
(
d
0
,
ϑ
)
=
R
(
d
0
,
ϑ
)
{\displaystyle R(d,\vartheta )=EL(d,\vartheta )=E[E(L(d,\vartheta )|T]\geqslant E[L(E(d|T),\vartheta )]=E(d_{0},\vartheta )=R(d_{0},\vartheta )}
Co kończy dowód.
Oczywistym wnioskiem jest także to, że klasa reguł decyzyjnych jest istotnie zupełna
![{\displaystyle R(d,\vartheta )=EL(d,\vartheta )=E[E(L(d,\vartheta )|T]\geqslant E[L(E(d|T),\vartheta )]=E(d_{0},\vartheta )=R(d_{0},\vartheta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d43eb317689552cd1e76e229254019aa128174)