Twierdzenie Toeplitza

Twierdzenie Toeplitza (nazywane również twierdzeniem Toeplitza o regularnym przekształceniu ciągu) zostało sformułowane w 1911 roku przez matematyka niemieckiego Ottona Toeplitza. Mówi ono o zbieżności szeregu powstałego przez pewne przekształcenie zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych.

Przykład

Zachodzi następujące twierdzenie

Niech $(t_{n})$ będzie zbieżnym do $t$ ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy zbieżny jest również ciąg $\left({\tfrac {t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{n}}{n}}\right)$ i ma granicę równą $t.$

Dowód. Skoro $t_{n}\to t$ dla $n\to \infty ,$ to dla dowolnego $\varepsilon >0$ istnieje liczba naturalna $k,$ taka że $|t_{n}-t|<\varepsilon ,$ dla $n>k.$ Stąd $t-\varepsilon <t_{i}<t+\varepsilon$ dla $i=k+1,k+2,\dots ,n.$ Sumując stronami powyższe nierówności, a następnie dzieląc przez $n-k$ otrzymujemy

(*)   $t-\varepsilon <{\frac {t_{k+1}+t_{k+2}+\ldots +t_{n}}{n-k}}<t+\varepsilon .$

Ponadto oczywiście ${\tfrac {t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{k}}{n}}\to 0$ gdy $n\to \infty ,$ co w połączeniu z (*) implikuje tezę.

Zauważmy, że wyrazy ciągu $\left({\tfrac {t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{n}}{n}}\right)$ możemy zapisać jako $\sum _{k=1}^{n}{\tfrac {1}{n}}t_{k}.$ Naturalnym wydaje się pytanie, kiedy ciągi $(s_{n})$ o wyrazach postaci $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k,n}t_{k}$ będą zbieżne i czy ich granicą będzie $t.$

Twierdzenie Toeplitza

Niech $(a_{k,n})$ będzie nieskończonym układem liczb rzeczywistych, przy czym $1\leqslant k\leqslant n.$ Ponadto niech $(t_{n})$ będzie zbieżnym ciągiem liczb rzeczywistych o granicy $t.$ Jeśli spełnione są poniższe warunki

(1)   $a_{k,n}\to 0$ dla $n\to \infty$ i dowolnie ustalonej liczby naturalnej $k,$

(2)   $\sum _{k=1}^{n}a_{k,n}\to 1$ dla $n\to \infty ,$

(3)   $\sum _{k=1}^{n}|a_{k,n}|\leqslant M$ dla pewnej liczby $M>0$ oraz wszystkich $n,$

to ciąg $(s_{n}),$ określony wzorem $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k,n}t_{k}$ dla $n\geqslant 1$ jest zbieżny do $t.$

Twierdzenie odwrotne

Zachodzi również twierdzenie odwrotne.

Niech $(a_{k,n})$ będzie nieskończonym układem liczb rzeczywistych, przy czym $1\leqslant k\leqslant n.$ Jeśli dla każdego zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych $(t_{n}),$ ciąg $(s_{n})$ określony wzorem $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k,n}t_{k}$ jest zbieżny do granicy ciągu $(t_{n}),$ to

(1)   $a_{k,n}\to 0$ dla $n\to \infty$ i dowolnie ustalonej liczby naturalnej $k,$

(2)   $\sum _{k=1}^{n}a_{k,n}\to 1$ dla $n\to \infty ,$

(3)   istnieje liczba $M>0,$ taka że $\sum _{k=1}^{n}|a_{k,n}|\leqslant M$ dla wszystkich $n.$