Utrata cyfr znaczących

Utrata cyfr znaczących – zjawisko pojawiające się w obliczeniach komputerowych, konsekwencja zapisu liczb rzeczywistych w komputerze. Występuje ona np. podczas odejmowania liczb, których różnica jest znacznie mniejsza niż każda z tych liczb. W efekcie liczba cyfr znaczących wyniku maleje do nieakceptowalnie niskiego poziomu. Sposoby ograniczania bądź unikania takich efektów bada analiza numeryczna.

Wytłumaczenie zjawiska

Niech $x$ i $y$ będą bliskimi liczbami, których różnica jest znacznie mniejsza od każdej z nich. Niech $rd(x)$ i $rd(y)$ oznacza reprezentację liczb odpowiednio $x$ i $y$ w pamięci komputera. Liczby $x$ oraz $y$ dane są w postaci $rd(z)=\pm m_{t}\cdot 2^{c},$ gdzie $m_{t}$ jest mantysą – liczbą długości $t$ taką, że $m\in \left(0,{\frac {1}{2}}\right\rangle ,$ a $c$ jest cechą – dowolną liczbą całkowitą

${\begin{matrix}rd(x)=&\pm &0.&1&c_{1}&\dots &c_{t-i}&c_{t-i+1}&\dots &c_{t}\\rd(y)=&\pm &0.&1&d_{1}&\dots &d_{t-i}&d_{t-i+1}&\dots &d_{t}\\rd(x)-rd(y)=&\pm &0.&0&0&\dots &0&1&\dots &c_{t}-d_{t}\end{matrix}}$

W wyniku odejmowania bliskich liczb powstaje liczba zawierająca na pierwszych $t-i$ pozycjach zera, na pozostałych pozycjach co najmniej jedną jedynkę. Liczba będąca wynikiem odejmowania musi być znormalizowana, tj. przedstawiona w postaci:

$rd(x-y)=\pm m_{t}\cdot 2^{c},$

gdzie $m\in \left(0,{\frac {1}{2}}\right\rangle .$

Aby otrzymać mantysę spełniającą ten warunek, należy „obciąć” początkowe zera w liczbie $x-y$ (poprzez pomożenie przez $2^{n-i}$) – wtedy jednak ostatnie niezerowe cyfry na pozycjach $x-y$ zostaną przesunięte na pierwsze pozycje, i jeżeli $i<t,$ nie będzie wiadomo, czym zapełnić pozostałe miejsca w mantysie (właściwe zostały wcześniej odrzucone, przez zaokrąglenie $x$ i $y$). Przyjęcie, że te utracone pozycje zostaną zapełnione np. zerami, jest tak samo dobre jak założenie, że zostaną one zapełnione losowymi liczbami – w obu wypadkach będą to bezwartościowe dane, niemające wiele wspólnego z rzeczywistym, lub choćby do niego zbliżonym wynikiem.

Gdy różnica $|x-y|$ dąży do zera, błąd względny $z$ rośnie nieograniczenie.

Przykłady

Przykład 1

Za przykład zadania źle uwarunkowanego, tj. takiego, w przypadku którego może dojść do utraty cyfr znaczących w trakcie obliczeń komputerowych, może posłużyć prosta funkcja:

$f(x)={\sqrt {x+9}}-3.$

Dla $x$ w pobliżu zera wartość pod pierwiastkiem jest bardzo bliska 3 i w przypadku obliczeń dokonywanych przy pomocy komputera występuje utrata cyfr znaczących.

Rozwiązanie

Prostym sposobem na poradzenie sobie z tym problemem jest przekształcenie wzoru naszej funkcji:

$f(x)=({\sqrt {x+9}}-3){\frac {{\sqrt {x+9}}+3}{{\sqrt {x+9}}+3}}={\frac {x+9-9}{{\sqrt {x+9}}+3}}={\frac {x}{{\sqrt {x+9}}+3}}.$

Jest to wzór algebraicznie równoważny, a nie zawierający operacji odejmowania – teraz nawet dla $x$ bliskich 0 w przypadku obliczeń komputerowych nie wystąpi zjawisko utraty cyfr znaczących.

Przykład 2

Innym przykładem na to, że nawet najprostsze algorytmy mogą być źle uwarunkowane, jest „szkolny” algorytm obliczania pierwiastków równania kwadratowego

$x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},$

$x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

W sposobie obliczenia jednego z pierwiastków jest odejmowanie. Możliwa jest sytuacja, w której wartość $-b$ i ${\sqrt {b^{2}-4ac}}$ mogą być dość bliskie zeru co do modułu – nastąpi utrata cyfr znaczących.

Rozwiązanie

Sposobem na ominięcie tego problemu mogą być Wzory Viète’a – dobrze uwarunkowany pierwiastek może być obliczony „wprost”, drugi otrzymany ze wzoru Viète’a. Należy również zauważyć, że możemy mieć tutaj do czynienia z dwoma przypadkami, tj. $b>=0$ oraz $b<0.$ Dla pierwszego przypadku dobrze uwarunkowanym będzie pierwiastek pierwszy, a dla drugiego przypadku dobrze uwarunkowanym będzie pierwiastek drugi.