Uzupełnienie Schura

Uzupełnienie Schura – pojęcie w algebrze liniowej i teorii macierzy wiążące elementy macierzy blokowej.

Załóżmy, że $A,B,C,D$ są macierzami o wymiarach $p\times p,$ $p\times q,$ $q\times p$ i $q\times q,$ oraz że $D$ jest odwracalna.

Niech

$M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]$

tak, że $M$ jest macierzą blokową o wymiarach $(p+q)\times (p+q).$ Wtedy uzupełnieniem Schura bloku $D$ macierzy $M$ jest macierz o wymiarach $p\times p$ dana przez

$A-BD^{-1}C.$

Uzupełnienie Schura jest wykorzystywane m.in. w eliminacji Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych.

Zastosowania w algebrze liniowej

Uzupełnienie Schura jest w sposób naturalny wykorzystywane przy rozwiązywaniu układu równań liniowych

$Ax+By=a,$

$Cx+Dy=b.$

gdzie $x$ oraz $a$ są wektorami o wymiarach $p,$ natomiast $y,b$ są wektorami o wymiarach $q.$ Macierze $A,B,C,D$ są zdefiniowane jak powyżej. Po pewnych przekształceniach dostajemy

$(A-BD^{-1}C)x=a-BD^{-1}b.$

Wobec tego, jeżeli można odwrócić zarówno macierz $D,$ jak i jej uzupełnienie Schura, wtedy można znaleźć $x$ i używając równania $Cx+Dy=b$ wyznaczyć $y.$ W ten sposób problem odwracania macierzy $(p+q)\times (p+q)$ został zredukowany do problemu odwracania macierzy $p\times p$ oraz $q\times q.$ Jednak w praktyce algorytm ten może nie być dokładny.

Bibliografia

• Z. Fuzhen, The Schur Complement and Its Applications, Springer, 2005, ISBN 0-387-24271-6.