Wzór sumacyjny Abela

Wzór sumacyjny Abela (także: sumowanie przez części Abela) – tożsamość wykorzystywana w analitycznej teorii liczb. Swoją nazwę nosi po nazwisku Nielsa Henrika Abela.

Treść

Niech $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ będzie ciągiem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Oznaczmy

$A(t)=\sum _{0\leqslant n\leqslant t}a_{n}.$

Ponadto, niech $f\colon [x,y]\to \mathbb {C}$ będzie ciągłą funkcją całkowalną dla liczb rzeczywistych $y>x\geqslant 0.$ Wówczas zachodzi równość

$\sum _{x<n\leqslant y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}A(t)f'(t)dt.$

Wzór można udowodnić, stosując całkowanie przez części całki Riemanna-Stieltjesa funkcji $A$ i $f.$