Twierdzenie Fubiniego – jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary; pozwala zastępować całki wielokrotne całkami pojedynczymi, tj. z funkcji jednej zmiennej[1].
W pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.
Uproszczoną (ale często podawaną) postacią tego twierdzenia jest:
- Przypuśćmy, że
jest funkcją ciągłą. Wówczas
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left(\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int \limits _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,dxdy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f1d536cda922bfbddee661bae1e8913f4fa993)
Wszystkie znaki całki odnoszą się do odpowiednich całek Riemanna.
Niech
i
będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi i niech
będzie miarą produktową.
- Twierdzenie Fubiniego: Załóżmy, że funkcja
jest całkowalna względem miary produktowej λ. Wówczas:
- (a) prawie każde cięcie funkcji h jest całkowalne (odpowiednio względem μ lub ν),
- (b) jeśli dla
położymy
a dla
określimy
to otrzymane funkcje
i
są całkowalne (względem μ,ν, odpowiednio) oraz
![{\displaystyle \int \limits _{X\times Y}h\ d\lambda =\int \limits _{X}f\ d\mu =\int \limits _{Y}g\ d\nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25fd3527a1bb0684b26d5b1ebe5345a651917863)
Następujące twierdzenie jest również określane mianem twierdzenia Fubiniego. Wynika ono bezpośrednio z powyższego twierdzenia. (W niektórych dowodach twierdzenia ogólnego jest ono używane jako lemat.)
- Przypuśćmy, że
jest zbiorem mierzalnym (tzn.
). Wówczas następujące warunki są równoważne:
- (i)
![{\displaystyle \lambda (E)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3482a4aeb43cc30a73b287f122fed90e5a0077f8)
- (ii)
![{\displaystyle \mu \left(\left\{x\in X:\nu (\{y\in Y:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4887e8cf7e456891072bbf40714f5a8b4ac4d8e6)
- (iii)
![{\displaystyle \nu \left(\left\{y\in Y:\mu (\{x\in X:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5864f2429ebf3907d48429b00e9783110b70f2f0)
Podobnym twierdzeniem jest twierdzenie Tonellego, które dają tę samą tezę przy założeniu, że funkcje są nieujemne (nie potrzeba sprawdzać całkowalności). W praktyce twierdzenie Tonellego jest często używane do sprawdzania założeń twierdzenia Fubiniego.
|
Ten artykuł należy dopracować: |
Zastosowanie do obliczenia całki Gaussa[edytuj | edytuj kod]
Jednym z najpopularniejszych przykładów zastosowania twierdzenia Fubiniego jest dowód, że
![{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2543f8dd7bfd58f26a032999b449493730bbd0dd)
Dla dodatniej liczby rzeczywistej a połóżmy
![{\displaystyle I(a)=\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf49601cddd99c1b9c2e920c0d886672923f514)
Gdyby było wiadomo, że całka
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac3e0db432a19724745ed415d827d1992a67cb9)
jest bezwzględnie zbieżna, to jej wartość byłaby równa granicy
![{\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00e64120003c778071dab8534a1382786c63e16)
tj. całce
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0835da07ad9745f6ee9e26b6040147e77a231bfa)
Jest tak istotnie, zważywszy na oszacowanie
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|e^{-x^{2}}|\,\mathrm {d} x<\int _{-\infty }^{-1}-xe^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x+\int _{-1}^{1}e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x+\int _{1}^{\infty }xe^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab31b7cc08ac7b35fdb1932ae10b9412b1378cc)
Podnosząc
do kwadratu otrzymujemy
![{\displaystyle {\begin{aligned}I(a)^{2}&=\left(\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x\right)\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,\mathrm {d} y\right)\\&=\int _{-a}^{a}\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,\mathrm {d} y\right)\,e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a223df95e4f6e1ea95f68dfb30907a4c0846da2)
Z twierdzenia Fubiniego wynika zatem, że powyższa całka równa jest całce
![{\displaystyle \iint _{[-a,a]\times [-a,a]}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} (x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62f9e56b97849763d4164fadeb8cfd1ae6d76a9)
tj. całce, której obszarem całkowania jest kwadrat o wierzchołkach {(–a, a), (a, a), (a, –a), (–a, –a)}.
Z nieujemności funkcji potęgowej wynika, że całka z funkcji
po dowolnym kole zawartym w kwadracie
nie przekracza całki z tej funkcji po rzeczonym kwadracie. Stosując współrzędne biegunowe:
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1a8f6e36d83e182f27782fe74202cbd6cc7f3b5)
![{\displaystyle \mathbf {J} (r,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e097ec3e6c6a5a79d16a9cf77f2427726eb94c49)
![{\displaystyle d(x,y)=|J(r,\theta )|\mathrm {d} (r,\theta )=r\,\mathrm {d} (r,\theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e95a4d071c851e16110c9d5353827aae41aec3)
do całek po kołach otrzymujemy nierówność
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta <I^{2}(a)<\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eabce099a0eef17589834f4a86f8cd8eb8acf0f)
Odcałkowując, otrzymujemy oszacowanie:
![{\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})<I^{2}(a)<\pi (1-e^{-2a^{2}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84d6cc24e7abf5c670df841845e799c0109781d)
Z twierdzenia o trzech funkcjach wynika zatem, że
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6631f4081c6d0b55bda23f1fa36e6df2255e3324)
Rozważmy całki
oraz ![{\displaystyle B=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dx\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8c1b101aaceddee79f8aee3ebdc441a97da624f)
Ze względu na antysymetrię całkowanej funkcji, łatwo możemy się przekonać, że
Pokażemy, że
a więc także
Do obliczenia całki
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47af17aadf3edcccbf9890d886e0e21fcb286d98)
użyjemy podstawienia trygonometrycznego
Tak więc
oraz ![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=x^{2}+x^{2}\operatorname {tg} ^{2}(\theta )=x^{2}(1+\operatorname {tg} ^{2}(\theta ))=x^{2}\sec ^{2}(\theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03500c2ceeb758d666163f42603a786e47020286)
Granice całkowania
dają nam
czyli
a stąd
Zatem
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c485c6d1ab8bb1b78fb65bffdcb9ca9a82fa80c)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\arctan(1/x)}{\frac {x^{2}(1-\operatorname {tg} ^{2}(\theta ))}{(x^{2}\sec ^{2}(\theta ))^{2}}}x\sec ^{2}(\theta )\,d\theta ={\frac {1}{x}}\int \limits _{0}^{\arctan(1/x)}{\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}(\theta )}{\sec ^{2}(\theta )}}\,d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/381892000f7225cb90ef1bde6e8874ec2fae129c)
![{\displaystyle ={\frac {1}{x}}\int \limits _{0}^{\arctan(1/x)}\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )\,d\theta ={\frac {1}{x}}\int \limits _{0}^{\arctan(1/x)}\cos(2\theta )\,d\theta ={\frac {1}{x}}\left[{\frac {\sin(2\theta )}{2}}\right]_{\theta :=0}^{\theta =\arctan(1/x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361c366e2f5baa75af12a402bfb0b5b3a04ed578)
![{\displaystyle ={\frac {1}{x}}\left[\sin(\theta )\cos(\theta )\right]_{\theta :=0}^{\theta =\arctan(1/x)}={\frac {1}{x}}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca5ba6aa59c2d5213041fa7fac9a1542ad1a46b)
Przypomnijmy, że mamy następujące tożsamości trygonometryczne:
oraz ![{\displaystyle \cos(\arctan(1/x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f0466f69b58955c639afccc84084bc28c3add6f)
Zatem
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy={\frac {1}{x}}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x))={\frac {1}{1+x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e44198464a71f45dc55de37643710471fdaa465)
Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (ze względu na x):
![{\displaystyle A=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dy\,dx=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\left[\arctan(x)\right]_{0}^{1}=\arctan(1)-\arctan(0)={\frac {\pi }{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f228cf533c06f2c23c26204e7ad025e5949027)
Tak więc
oraz ![{\displaystyle B=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,dx\,dy=-{\frac {\pi }{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dce3979c18deb9ad0dd36d9507b33fbb3bb7063e)
Zatem twierdzenie Fubiniego nie stosuje się do funkcji
Cóż jest tego powodem? Ponieważ jest to bardzo porządna funkcja, jedynym możliwym problemem jest to, że nie jest ona całkowalna (nawet nie w sensie Lebesgue’a). I rzeczywiście,
![{\displaystyle \int \limits _{[0,1]\times [0,1]}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right|\,d(x,y)=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75fc8625cfbe82fd9730459e1b06a5c84bb52fb)
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fubini Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-06-20].
Fubini theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].