Wzór Möbiusa (twierdzenie Möbiusa o odwracaniu, odwracanie Möbiusa[1]) – w matematyce to twierdzenie wiążące funkcje arytmetyczne z funkcją Möbiusa. Wzór pojawił się po raz pierwszy w pracach Dedekinda i Liouville’a w 1857r., 15 lat po wprowadzeniu przez Möbiusa funkcji
[2].
Twierdzenie. Niech dane będą funkcje arytmetyczne
i
Następujące relacje są sobie równoważne:
![{\displaystyle g(n)=\sum _{d|n}f(d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584fcda7ae9247ff6cd4aef13bf15f4dc0ced95f)
wtedy i tylko wtedy, gdy
![{\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/251e3682776bab63530303871cdc43257f4d0656)
gdzie
jest funkcją Möbiusa. Stosując oznaczenie splotu Dirichleta oznacza to, że
wtedy i tylko wtedy, gdy
[1][2][3][4].
Dowód. Przez
oznaczamy funkcję arytmetyczną, która dla wszystkich argumentów przyjmuje własność 1. Pierwsze równanie opisuje zależność
Wiedząc, że funkcja
jest odwrotna do funkcji
względem splotu Dirichleta[1][3] możemy zapisać
lewa strona równości odpowiada drugiemu równaniu powyżej, to kończy dowód[3].
Rozważając odwracanie Möbiusa dla odpowiednio zdefiniowanych funkcji arytmetycznych
i przyjmując
i
twierdzenie możemy zapisać następująco.
Dla danych funkcji arytmetycznych
i
zachodzi równość
![{\displaystyle g(n)=\prod _{d|n}f(d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb252a72a343edc0036b1e361b653ee521c2f3bc)
wtedy i tylko wtedy, gdy
![{\displaystyle f(n)=\prod _{d|n}g\left({\frac {n}{d}}\right)^{\mu (d)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a060a30e82a24c76e4645fc727af2e40c6a5d8e)
Uogólnione odwracanie Möbiusa[edytuj | edytuj kod]
Twierdzenie Möbiusa można uogólnić na funkcje niebędące funkcjami arytmetycznymi, ale o określonych własnościach. Uogólnioną postać wykorzystuje się szczególnie w analitycznej teorii liczb.
Twierdzenie[5]. Niech
będą funkcjami określonymi na zbiorze
przyjmującymi wartości rzeczywiste lub zespolone, przy czym
dla
Ponadto, niech
będzie funkcją arytmetyczną o odwrotności względem splotu
Wówczas
![{\displaystyle G(x)=\sum _{n\leqslant x}\alpha (n)F\left({\frac {x}{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7339401a6bac1ef77917a23e82cea15b5749c533)
wtedy i tylko wtedy, gdy
![{\displaystyle F(x)=\sum _{n\leqslant x}\alpha ^{-1}(n)G\left({\frac {x}{n}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f20700a058150ea6250d740b34279ffa37daa1)
W szczególności, jeśli
jest całkowicie multiplikatywna, to
i wówczas
![{\displaystyle G(x)=\sum _{n\leqslant x}\alpha (n)F\left({\frac {x}{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7339401a6bac1ef77917a23e82cea15b5749c533)
wtedy i tylko wtedy, gdy
![{\displaystyle F(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)\alpha (n)G\left({\frac {x}{n}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a32bfa841853c6307ec2dea36ca63e3c48ace52)
Zapis
oznacza tutaj sumę po wszystkich liczbach
całkowitych dodatnich mniejszych lub równych danej liczbie rzeczywistej
Dowód. Oznaczając przez
funkcję
![{\displaystyle (\alpha \circ F)(x)=\sum _{n\leqslant x}\alpha (n)F\left({\frac {x}{n}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412db4bd85e15544538b95db836ef9374df3e9a3)
możemy wykazać, że dla dowolnych funkcji arytmetycznych
i
oraz funkcji
zdefiniowanej na
zachodzi łączność działania
tzn.
![{\displaystyle \alpha \circ (\beta \circ F)=(\alpha *\beta )\circ F.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0232c70fb6db17de9e6f78eaf1a948384e3121d)
Dla
mamy
![{\displaystyle \alpha \circ (\beta \circ F)(x)=\sum _{n\leqslant x}\alpha (n)\sum _{m\leqslant {\frac {x}{n}}}\beta (m)F\left({\frac {x}{mn}}\right)=\sum _{mn\leqslant x}\alpha (n)\beta (m)F\left({\frac {x}{mn}}\right)=\sum _{k\leqslant x}\left(\sum _{n|k}\alpha (n)\beta \left({\frac {k}{n}}\right)\right)F\left({\frac {x}{k}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5489abd173073f018039dcf7bd56c2d5a71dfab)
Występująca suma po składnikach
to w istocie splot Dirichleta
więc równość zachodzi. Stąd, jeśli
to
![{\displaystyle \alpha ^{-1}\circ G=\alpha ^{-1}\circ (\alpha \circ F)=(\alpha ^{-1}*\alpha )\circ F=\epsilon \circ F=F,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9068903039687e24359c351847cfe88592aaf264)
gdzie
i
dla
Osobny artykuł: Funkcja φ.
Niech
będzie tocjentem, tzn. dla dowolnej liczby całkowitej
niech
oznacza liczbę liczb całkowitych
względnie pierwszych z
Znane twierdzenie Eulera mówi, że
![{\displaystyle n=\sum _{d|n}\varphi (d).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4777505f7de31f6f114afcf72bc727be956388)
Twierdzenie Möbiusa mówi, że jest to równoważne relacji
![{\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}=n\sum _{d|n}{\frac {\mu (d)}{d}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c157bb8beba92fa7d4afedcd0226a34545fbd613)
Tę tożsamość możemy wykorzystać chociażby, aby uzasadnić, że średni rząd funkcji
wynosi
Mamy
![{\displaystyle \sum _{n\leqslant x}\varphi (n)=\sum _{n\leqslant x}\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}=\sum _{qd\leqslant x}\mu (d)q=\sum _{d\leqslant x}\mu (d)\sum _{q\leqslant x/d}q=\sum _{d\leqslant x}\mu (d)\left({\frac {x^{2}}{2d}}+O\left({\frac {x}{d}}\right)\right)={\frac {1}{2}}x^{2}\sum _{d\leqslant x}{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}+O\left(x\sum _{d\leqslant x}{\frac {1}{d}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b564e6c51cc16de69350e032d477c7ceb3df4455)
Suma
przy
dąży do wartości odwrotności funkcji zeta,
Suma w błędzie szacowania jest sumą częściową szeregu harmonicznego, więc jest rzędu logarytmu naturalnego. Dlatego
Stąd wynika już wprost, że[6]
- ↑ a b c AdamA. Neugebauer AdamA., Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. 1, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, s. 148–149, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-07-15] .
- ↑ a b WładysławW. Narkiewicz WładysławW., Teoria liczb, wyd. 3, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, s. 110, ISBN 83-01-14015-1, OCLC 749285993 [dostęp 2022-07-15] .
- ↑ a b c Tom M.T.M. Apostol Tom M.T.M., Introduction to analytic number theory, New York: Springer, 2010, s. 31–32, ISBN 978-1-4757-5579-4, OCLC 861705475 [dostęp 2022-07-15] .
- ↑ WacławW. Sierpiński WacławW., Teoria Liczb, wyd. 3, Warszawa–Wrocław: Biblioteka Narodowa, kwiecień 1950, s. 150–153 .
- ↑ Apostol 2010 ↓, s. 39–40.
- ↑ Apostol 2010 ↓, s. 62.