Szereg harmoniczny – szereg liczbowy postaci[1]:
[2]
Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego
![{\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622414732ffe7bc0ad12828930de20f135908faa)
nazywają się liczbami harmonicznymi.
Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących[2]:
![{\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {1}{n-1}},{\frac {1}{n+1}}\right)={\frac {2}{\left({\frac {1}{n-1}}\right)^{-1}+\left({\frac {1}{n+1}}\right)^{-1}}}={\frac {2}{(n-1)+(n+1)}}={\frac {1}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0262dff29efb72d26ce64901bd1afd5121629c41)
Łatwo też sprawdzić, że każdy wyraz od drugiego począwszy jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.
Rozbieżność szeregu harmonicznego[edytuj | edytuj kod]
Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności[3]
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74153389a5c1bf71afe30eb7edc4227bb58f26d0)
Pomysł poniższego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki.
Kolejne składniki od drugiego począwszy grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia.
![{\displaystyle 1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right)+\ldots +\underbrace {\left({\frac {1}{2^{n}+1}}+{\frac {1}{2^{n}+2}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}}}\right)} _{2^{n}\ {\text{składników}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be64ec2892e6b1e0e94dca58f72b4aca04d13734)
Ponieważ
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\geqslant {\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e78890eb3c502a11c367023129e827ad84d8e8)
![{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\ >\ {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13567ec4e21f2c118e9ae9b65590df28eeb367a7)
![{\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\ >\ {\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18da332d8a279dac5708ee7b52c5863e3a6199a)
i ogólnie
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{n}+1}}+{\frac {1}{2^{n}+2}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}}}\ >\ \underbrace {{\frac {1}{2^{n+1}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}}}} _{2^{n}\ {\text{identycznych składników}}}={\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f099dbbe51a5fe2dd1ffe406d2f2f8f13b97fd6)
więc
![{\displaystyle H_{2^{n}}\geqslant 1+{\tfrac {1}{2}}n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac703dcf6b235112c3508e85d2ff1a878c307b78)
Oznacza to, że ciąg sum częściowych
jest rozbieżny do
[4].
W 1650 w pracy Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum dowód rozbieżności podał Pietro Mengoli[5].
Grupujemy składniki szeregu w nawiasy po trzy składniki od drugiego począwszy:
![{\displaystyle 1+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{3k-1}}+{\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k+1}}\right)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ea46c16c99481853483f2b4d8e5a64eec791bad)
Ponieważ
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630b6ff339eec62ca7ee548391f1b6ef37f34bd8)
![{\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}>{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e4db582eaf8057ef6d3012614ead29ff34aa5f)
![{\displaystyle {\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}>{\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c98285d6e9ba98c675e93a4c30495088de9fea)
i ogólnie
![{\displaystyle {\frac {1}{3k-1}}+{\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k+1}}={\frac {27k^{2}-1}{3k(9k^{2}-1)}}={\frac {1}{k}}+{\frac {2}{3k(9k^{2}-1)}}>{\frac {1}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/611d00eda24d27cc3bb0de182936df039a229602)
więc
![{\displaystyle H_{3k+1}>1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{k}}=1+H_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb04de671c4043cf1f1124808d310fb367ef7beb)
co w efekcie daje
![{\displaystyle H_{3k+1}-H_{k}>1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b14a8886d94211200e063924fd0471a6576a83)
Oznacza to, że ciąg sum częściowych
nie spełnia warunku Cauchy’ego; nie jest więc zbieżny.
Bradley podał w roku 2000[6] następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.
Dla dowolnej liczby
spełniona jest nierówność
![{\displaystyle x\geqslant \ln(x+1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0439a25ff4401b6653c786cc68e6bcd45ca08997)
a stąd
![{\displaystyle {\frac {1}{k}}\geqslant \ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)=\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)=\ln(k+1)-\ln k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464ed7ac21d4e260271dd0454a90bfb0a3ff2fc3)
Ciąg sum częściowych można więc oszacować:
![{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\geqslant \sum _{k=1}^{n}(\ln(k+1)-\ln k)=\ln(n+1).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501ca54488dfbdf9aafbde8d33772fe86da7fa72)
Ponieważ
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ln(n+1)=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e60c05d6a14d20f627bb4d19c4958711df4346c)
zachodzi
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n}=\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be7a42081a456cc702d812e49c69aef588feefe8)
Ciąg liczb harmonicznych
jest rozbieżny do
ale rośnie powoli a jego wzrost można opisać zależnością:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(\ H_{n}-\ln(n)\ )=\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad59681755a49ecaaeb4969513a0bf0ee8c5ac78)
gdzie
= 0,5772156649… jest tzw. stałą Eulera. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja logarytm naturalny. Dokładniejsze oszacowanie liczby
jest dane wzorem
![{\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{4}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c7347973d8654039a7bf9ef38e5957d221b1651)
Uogólniony szereg harmoniczny postaci
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d3cffa309135d5631d6e2ac8f141e2127dd0eb)
jest rozbieżny przy dowolnych wartościach
Euler udowodnił rozbieżność szeregu
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121397d2d273f139f1235ef7562b515a8e5d05ff)
gdzie
jest
-tą liczbą pierwszą.
Szeregi harmoniczne wyższych rzędów[edytuj | edytuj kod]
Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywa się szereg postaci:
[2]
Szereg ten jest zbieżny dla
[7] i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by
przyjmowało wartości zespolone i każdej liczbie
dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji dzeta
Riemanna:
![{\displaystyle \zeta (\alpha )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd382eef724546ebac0a1c0675c44bc10e81826b)
Funkcja ta ma podstawowe znaczenie w teorii liczb. Związana jest z nią słynna i nierozstrzygnięta do dzisiaj hipoteza Riemanna.
Ponadto, szereg naprzemienny
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a543b1765f7159c38e0c38ed85e51d1db50e4af)
jest zbieżny, jednak tylko warunkowo. Wynika to na przykład z rozwinięcia funkcji logarytm naturalny w szereg Taylora.
Natomiast szereg:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\epsilon _{n}{\frac {1}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae00b72179b8cd23b5ecee6268801b95af5fc29b)
gdzie
to zmienne losowe przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny prawie na pewno. Wynika to z twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach, bo wartości bezwzględne zmiennych są wspólnie ograniczone, wartości oczekiwane równe 0, a wariancje równe
co jest szeregiem zbieżnym.
- ↑ szereg harmoniczny, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-07-19] .
- ↑ a b c Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), s. 277, ISBN 83-02-02551-8 .
- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 118.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 226.
- ↑ KrzysztofK. Maślanka KrzysztofK., Pietro Mengoli i szeregi liczbowe, „Kwartalnik Historii Nauki i Techniki”, 49 (1), 2004, s. 47–64 [dostęp 2019-02-08] (pol.).
- ↑ D.M. Bradley, A note on the divergence of the harmonic series, „American Mathematical Monthly”, 107 (2000), 651.
- ↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 227.
pojęcia definiujące | ciągi ogólne |
|
---|
ciągi liczbowe |
|
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb |
|
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia |
|
---|