Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Funkcja σ (sigma), niekiedy
– funkcja określona dla liczb naturalnych jako suma wszystkich dodatnich dzielników danej liczby.
Przykładowo:
Sumę
-tych potęg dzielników oznacza się przez
na przykład
to liczba dzielników danej liczby, znana również jako funkcja τ.
Liczby spełniające równanie
nazywa się liczbami doskonałymi, nierówność
nadmiarowymi, a nierówność
deficytowymi.
Jeśli
ma rozkład na czynniki pierwsze postaci
to
![{\displaystyle \sigma (n)={\frac {p_{1}^{\alpha _{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\cdot {\frac {p_{2}^{\alpha _{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\cdot \ldots \cdot {\frac {p_{k}^{\alpha _{k}+1}-1}{p_{k}-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3213a2088d4dd59c9835d66d9bd6c809d3626a)
Każdy dzielnik naturalny liczby
można przestawić w postaci:
![{\displaystyle d=p_{1}^{\lambda _{1}}p_{2}^{\lambda _{2}}\dots p_{k}^{\lambda _{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111f63883967d158bc6e95f5f2e6d352f69248dd)
gdzie:
| | ![{\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {Z} ,\ 0\leqslant \lambda _{i}\leqslant \alpha _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cefac55cfbb8d3c41b1592e828603686120c70ba) |
|
(1) |
Ponieważ różnym układom liczb
spełniającym (1) odpowiadają różne dzielniki
więc:
| | ![{\displaystyle \sigma (n)=\sum p_{1}^{\lambda _{1}}p_{2}^{\lambda _{2}}\dots p_{k}^{\lambda _{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d35839b31bb8faf8b22ef4836d31272e291dbee) |
|
(2) |
gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie układy liczb całkowitych spełniające (1).
Każdy składnik sumy (2) występuje dokładnie raz, dlatego tę sumę można „zwinąć” do postaci iloczynowej:
![{\displaystyle \sigma (n)=\left(1+p_{1}^{1}+\ldots +p_{1}^{\alpha _{1}}\right)\left(1+p_{2}^{1}+\ldots +p_{2}^{\alpha _{2}}\right)\dots \left(1+p_{k}^{1}+\ldots +p_{k}^{\alpha _{k}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4be5414839ed3750b7c58a1d950eabffe7e0fb)
Z kolei
-ty czynnik powyższego iloczynu jest skończoną sumą szeregu geometrycznego o ilorazie
więc
![{\displaystyle 1+p_{i}^{1}+\ldots +p_{i}^{\alpha _{i}}={\frac {p_{i}^{\alpha _{i}+1}-1}{p_{i}-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b769a48931bfa4cbf5ec9b5f41926044e8f85c)
Stąd teza.
- Wacław Sierpiński: Teoria liczb. Warszawa, Wrocław: 1950, s. 113–116, seria: Monografie Matematyczne (19). [dostęp 2009-01-05].
- Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 121–122, seria: Biblioteka Matematyczna, tom 7.
pojęcia definiujące | ciągi ogólne |
|
---|
ciągi liczbowe |
|
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb |
|
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia |
|
---|