Ciąg ułamków Fareya rzędu
– rosnący ciąg
wszystkich nieskracalnych ułamków
takich, że
[1].
[2].
- Twierdzenie Cauchy’ego-Fareya[3].
- Dla
nie ma dwóch kolejnych ułamków o tym samym mianowniku[4].
- Jeśli
są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya
to
[5].
- Jeśli
są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya
to
[6].
Znaleźć liczby
najbliższe
których mianowniki są mniejsze od 50.
Mamy:
![{\displaystyle {\frac {0}{1}}<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<{\frac {1}{1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a335737baf8f91225fdf2221cb12bb399c5feb)
czyli
![{\displaystyle {\frac {0}{1}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2738a49eff9fa136874119120a70b872320f5624)
zachodzi nierówność:
![{\displaystyle {\frac {0+1}{1+1}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1657c58db211d1d17fa1185ee954c03b0820facd)
więc:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea57bdbefa05a284a794f8026d1f8e6d8094993)
Zauważamy, że skrajne wartości są najlepszymi oszacowaniami spośród liczb o mianowniku nie większym niż 2.
Stwierdzamy, że
czyli:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}<{\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d831ad89a978fac0abcd081302e2328719596b80)
a zatem:
![{\displaystyle {\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3fb4bcaf823136f0ef320625a63c98fbb244fe)
W kolejnych krokach dostajemy:
![{\displaystyle {\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {3}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb98f1904c1a30e8f876372c4004b2d70f325de1)
![{\displaystyle {\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594f5d21569f7fad3f0a44c28c62f2c106e5d1e0)
![{\displaystyle {\frac {7}{10}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14ce75806f732f58bde27735b1edef56c3e892ef)
![{\displaystyle {\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa9a97d00707148c46d07dda22b17e6cd5b09cf)
![{\displaystyle {\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {17}{24}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d35c4650d0a133e568d234cd089b996d3a9dbb)
![{\displaystyle {\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {29}{41}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f782f17876f728d3499812c2f47a32385735dab3)
Liczby
oraz
są kolejnymi liczbami w pięćdziesiątym ciągu Fareya, więc nie ma pomiędzy nimi liczby o mianowniku mniejszym niż 58, czyli są to poszukiwane liczby.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Definicja 12.2.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Przykład 12.3.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Twierdzenie 12.4.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.6.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.7.
- ↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.8.
pojęcia definiujące | ciągi ogólne |
|
---|
ciągi liczbowe |
|
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb |
|
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia |
|
---|