Niech obie strony równania będą wykładnikami funkcji wykładniczej oraz wybierzmy jakąś konkretną dodatnią liczbę całkowitą, np. 1. Dostajemy wyrażenie z nieznanym wyrazem
Nieznany wyraz może być wyznaczony poprzez wzięcie granicy po obu stronach przy dążącym do nieskończoności oraz używając iloczynu Wallisa. Wartością jest Otrzymujemy wzór Stirlinga:
Przykład porównania jakości przybliżenia dla wzorów (1) (wersja popularna) oraz (2) (wersja dokładniejsza, ). Dla n = 140 n! jest wyznaczona z dokładnością do 9 cyfr znaczących.
Dokładniej,
(2)
przy
Tak naprawdę, wzór Stirlinga jest pierwszym przybliżeniem następującego szeregu (szeregu Stirlinga):
Przy błąd w seriach o skończonej długości jest co najwyżej równy pierwszemu pominiętemu wyrazowi. Jest to przykład rozwinięcia asymptotycznego.
Rozwinięcie asymptotyczne logarytmu również jest nazywane szeregiem Stirlinga:
W tym przypadku błąd, wskutek pominięcia dalszych wyrazów, jest zawsze tego samego znaku i tego samego rzędu, co pierwszy pominięty wyraz.
Wzór Stirlinga ma zastosowanie do przybliżonego obliczania funkcji gamma; funkcja ta jest zdefiniowana dla wszystkich liczb zespolonych innych niż liczby całkowite niedodatnie; jeżeli część rzeczywista liczby zespolonej jest większa od zera, to
Powtarzane całkowanie przez części daje rozwinięcie asymptotyczne
Wkładem Stirlinga było pokazanie, że stałą jest Bardziej precyzyjną wersję podał Jacques Binet.
Przybliżenie Stirlinga „pierwszego rzędu”, zostało użyte przez Maxa Plancka w jego artykule z roku 1901, w którym wyprowadził on wzór na promieniowanie ciała doskonale czarnego. Przybliżenie to powiązało zaproponowaną przez Plancka koncepcję elementów energii z wzorem na promieniowanie ciała doskonale czarnego. Przybliżenie było później często używane w teorii kwantowej, na przykład przez Louis de Broglie’a. Dla bardzo dużych wykres przybliżenia „pierwszego rzędu” wzoru Stirlinga, zrobiony w skali logarytmicznej, jest prawie równoległy do linii otrzymanej z koncepcji odseparowanych od siebie kwantów światła.
Jednak entropia układu, obliczona przy zastosowaniu przybliżenia Stirlinga „pierwszego rzędu”, jest inna, przy czym stosunek tych wielkości staje się silnie nieliniowy dla małych Można tylko spekulować, że podobny wpływ na entropię systemu mogłoby mieć wprowadzenie do opisu zasady nieoznaczoności, spinu fotonu i innych wielkości fizycznych nieznanych w czasie, gdy powstawała stara teoria kwantowa. Brak jest doświadczalnej weryfikacji związków między użytym przez Plancka przybliżeniem Stirlinga „pierwszego rzędu” i najnowszymi teoriami fizycznymi.