Iniektywna przestrzeń Banacha

Iniektywna przestrzeń Banacha – przestrzeń Banacha $E$ o tej własności, że jeżeli $E$ jest izomorficzna z podprzestrzenią $E_{0}$ pewnej przestrzeni Banacha $F,$ to istnieje operator liniowy i ciągły $P\colon F\to F$ o obrazie równym $E_{0}$ (tzn. $P(F)=E_{0};$ $P$ jest więc rzutem ograniczonym na $E_{0}$). Zakładając dodatkowo, że norma operatora $P$ jest ograniczona przez liczbę $\lambda >0,$ to iniektywne przestrzenie Banacha o tej własności nazywane są $P_{\lambda }$-przestrzeniami.

Własności

• Niech $E$ będzie iniektywną przestrzenią Banacha, która jest izomorficzna z pewną przestrzenią sprzężoną. Wówczas następujące warunki są równoważne:
  • $E$ jest izomorficzna z podprzestrzenią przestrzeni $L_{\infty }(\mu )$ dla pewnej miary skończonej $\mu ;$

$\ell _{\infty }(\Gamma ).$

• • Przestrzeń $\ell _{\infty }(\Gamma )$ nie jest izomorficzna z podprzestrzenią $E$ dla każdego zbioru nieprzeliczalnego $\Gamma ;$
  • Każdy podzbiór słabo zwarty przestrzeni $E$ jest ośrodkowy;
  • Istnieje taka miara skończona $\mu$ oraz podprzestrzeń $A$ przestrzeni $L_{1}(\mu ),$ że $E$ jest izomorficzne z $A^{*}$.
• Przestrzeń Bancha jest $P_{1}$-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy jest izometryczna z przestrzenią Banacha $C(K)$ funkcji ciągłych na ekstremalnie niespójnej przestrzeni zwartej.