Przestrzeń ekstremalnie niespójna

Przestrzeń ekstremalnie niespójna – przestrzeń topologiczna o tej własności, że domknięcia jej zbiorów otwartych są nadal zbiorami otwartymi. Najprostszym przykładem przestrzeni ekstremalnie niespójnej jest przestrzeń dyskretna. W klasie przestrzeni metrycznych przestrzenie ekstremalnie niespójne to te i tylko te, które są dyskretne. Uzwarcenie Čecha-Stone’a $\beta \mathbb {N}$ przestrzeni dyskretnej liczb naturalnych jest ekstremalnie niespójne, ale narost $\beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N}$ nie jest.

Podstawowe własności

• Przestrzeń topologiczna jest ekstremalnie niespójna wtedy i tylko wtedy, gdy domknięcia wszystkich par rozłącznych zbiorów otwartych są rozłączne.
• Przestrzeń Tichonowa jest ekstremalnie niespójna wtedy i tylko wtedy, gdy jej uzwarcenie Čecha-Stone’a jest ekstremalnie niespójne.
• Suma prosta rodziny przestrzeni topologicznych jest ekstremalnie niespójna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jej składnik jest ekstremalnie niespójny.

Przestrzenie Stone'owskie

Przestrzenie zwarte Hausdorffa, które ekstremalnie niespójne nazywane są czasami przestrzeniami Stone'owskimi (od nazwiska M.H. Stone’a). Dla każdej miary μ spektrum przemiennej C*-algebry L_∞(μ) jest przestrzenią Stone'owską. Przestrzeń Stone’a St(B) algebry Boole’a B jest przestrzenią Stone'owską wtedy i tylko wtedy, gdy B jest zupełna.

Zobacz też

• przestrzeń spójna
• przestrzeń całkowicie niespójna
• twierdzenie Gleasona

Bibliografia

• Ryszard Engelking, Topologia ogólna. PWN, Warszawa 1976, s. 445