Twierdzenie Gleasona

Twierdzenie Gleasona – twierdzenie dotyczące przestrzeni Stone’a, którego nazwa pochodzi o nazwiska matematyka, Andrew Gleasona.

Twierdzenie

Jeżeli $X,Y$ i $Z$ są przestrzeniami Stone’a, przy czym $Z$ jest ekstremalnie niespójna, to dla każdej funkcji ciągłej $g\colon Z\to Y$ oraz dla każdej ciągłej suriekcji $f\colon X\to Y$ istnieje taka funkcja ciągła $h\colon Z\to X,$ że

$f\circ h=g.$

Szkic dowodu

Należy zauważyć, że zbiór

$S=\{(x,z)\in X\times Z\colon f(x)=g(z)\}$

jest domknięty w $X\times Z,$ a więc zwarty (jako domknięta podprzestrzeń przestrzeni zwartej Hausdorffa) oraz jest przestrzenią Stone’a (jest domkniętą podprzestrzenią produktu przestrzeni Stone’a, a produkt przestrzeni Stone’a jest przestrzenią Stone’a). Niech $\varphi ={\mbox{pr}}_{X}\upharpoonright S$ oraz $\psi ={\mbox{pr}}_{Z}\upharpoonright S,$ gdzie pr oznaczają rzutowania przestrzeni $X\times Z$ na odpowiednie podprzestrzenie. Z określenia zbioru S wynika, że

$f\circ \varphi =g\circ \psi .$

Funkcja $g$ jest suriekcją więc $\psi$ również. Można uzasadnić, że istnieje taki zbiór domknięty $T\subseteq S,$ że odwzorowanie $\psi \upharpoonright T$ jest nieprzywiedlne oraz $\psi [T]=Z.$ Każde odwzorowanie nieprzywiedlne z przestrzeni Stone’a o wartościach w przestrzeni ekstremalnie niespójnej jest homeomorfizmem, a więc odwzorowanie

$h=\varphi \circ (\psi \upharpoonright T)^{-1}$

realizuje tezę twierdzenia.

Zobacz też

• twierdzenie Sikorskiego

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Wstęp do teorii mnogości. PWN, Warszawa, 2007, s. 289–290.