Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Twierdzenie Sikorskiego – twierdzenie teorii algebr Boole’a mówiące, każdy homomorfizm z podalgebry danej algebry Boole’a o wartościach w algebrze zupełnej można przedłużyć do homomorfizmu na całej algebrze. Innymi słowy:
Niech
B
{\displaystyle \mathbb {B} }
będzie algebrą Boole’a oraz
A
⊆
B
{\displaystyle \mathbb {A} \subseteq \mathbb {B} }
jej podalgebrą. Jeżeli
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
jest algebrą zupełną to dla każdego homomorfizmu
h
:
A
→
C
{\displaystyle h\colon \mathbb {A} \to \mathbb {C} }
istnieje taki homomorfizm
g
:
B
→
C
,
{\displaystyle g\colon \mathbb {B} \to \mathbb {C} ,}
że
g
↾
A
=
h
.
{\displaystyle g\upharpoonright \mathbb {A} =h.}
Oczywiście odwzorowanie tożsamościowe
i
:
A
→
B
{\displaystyle i\colon \mathbb {A} \to \mathbb {B} }
jest homomorfizmem. Z twierdzenia Stone’a wynika, że istnieją takie izomorfizmy
s
A
:
A
→
CO(Ult)
(
A
)
,
{\displaystyle s_{\mathbb {A} }\colon \mathbb {A} \to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {A} ),}
s
B
:
B
→
CO(Ult)
(
B
)
{\displaystyle s_{\mathbb {B} }\colon \mathbb {B} \to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {B} )}
i
s
C
:
C
→
CO(Ult)
(
C
)
,
{\displaystyle s_{\mathbb {C} }\colon \mathbb {C} \to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {C} ),}
że
s
B
∘
i
=
i
∗
¯
∘
s
A
{\displaystyle s_{\mathbb {B} }\circ i={\overline {i^{*}}}\circ s_{\mathbb {A} }}
oraz
s
C
∘
h
=
i
∗
¯
∘
s
A
,
{\displaystyle s_{\mathbb {C} }\circ h={\overline {i^{*}}}\circ s_{\mathbb {A} },}
gdzie
CO(Ult)
(
X
)
{\displaystyle {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {X} )}
oznacza algebrę zbiorów regularnie otwartych przestrzeni Stone’a algebry
X
.
{\displaystyle \mathbb {X} .}
Z twierdzenia Stone’a wynika ponadto, że
i
∗
¯
{\displaystyle {\overline {i^{*}}}}
jest „na” , ponieważ
i
{\displaystyle i}
jest różnowartościowe. Algebra
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
jest zupełna, a więc jej przestrzeń Stone’a jest ekstremalnie niespójna . Na mocy twierdzenia Gleasona istnieje taka funkcja ciągła
f
:
U
l
t
(
C
)
→
U
l
t
(
B
)
,
{\displaystyle f\colon {\rm {{Ult}(\mathbb {C} )\to {\rm {{Ult}(\mathbb {B} ),}}}}}
że
i
∗
∘
f
=
h
∗
,
{\displaystyle i^{*}\circ f=h^{*},}
a więc
h
∗
¯
=
f
¯
∘
i
∗
¯
.
{\displaystyle {\overline {h^{*}}}={\overline {f}}\circ {\overline {i^{*}}}.}
Funkcja
g
=
s
C
−
1
∘
f
¯
∘
s
B
{\displaystyle g=s_{\mathbb {C} }^{-1}\circ {\overline {f}}\circ s_{\mathbb {B} }}
jest szukanym homomorfizmem ponieważ
h
=
g
∘
i
.
{\displaystyle h=g\circ i.}