Iloczynem tensorowym modułów
i
nazywa się taki moduł, którego odwzorowania liniowe (homomorfizmy) w dowolny moduł
są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z odwzorowaniami dwuliniowymi modułów
i
w moduł
Jeżeli
jest pierścieniem przemiennym oraz
i
są odpowiednio prawym i lewym
-modułem, to istnieje z dokładnością do izomorfizmu jedyny taki
-moduł
oraz odwzorowanie dwuliniowe
![{\displaystyle \theta \colon M\times N\to P,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f92e9ec675f75f6814d3e493d0295aada2193fa3)
że dla każdej grupy abelowej
oraz dla każdego odwzorowania dwuliniowego
![{\displaystyle f\colon M\times N\to Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f77d7543d7a086e1eccf9504548be6a7b9112d6)
istnieje taki homomorfizm grup
![{\displaystyle {\tilde {f}}\colon P\to Z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a2d4fe710202b1e4edec22f0825060dafb9e93)
że
![{\displaystyle {\tilde {f}}\circ \theta =f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25c2a7d19714c85500c6f6a85836594857156d9)
Moduł
(wraz z odzorowaniem
) nazywana jest iloczynem tensorowym modułów
i
i oznaczana symbolem
(bądź po prostu
gdy z kontekstu wynika nad jakim pierścieniem
rozważane są moduły). Innymi słowy, iloczyn tensorowy
i
to jedyna z dokładnością do izomorfizmu grupa abelowa
dla której diagram
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Tensor_product_of_modules.png/220px-Tensor_product_of_modules.png)
jest przemienny.
Konstrukcja iloczynu tensorowego modułów[edytuj | edytuj kod]
Iloczyn tensorowy
-modułów
i
(wraz z odwzorowaniem
) może zostać skonstruowany w następujący sposób: rozpatrzmy moduł wolny
generowany przez iloczyn kartezjański
Jego elementami są funkcje
o skończonym nośniku
postaci
![{\displaystyle f=\sum _{(m,n)\in M\times N}r_{(m,n)}(m,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951932e2f6b8d4d4ec186299df6308fea0e10e27)
dla pewnych
gdzie
oznacza funkcję, która
przyporządkowuje 1, gdy
i 0 w przeciwnym wypadku. Moduł ilorazowy
![{\displaystyle F(M\times N)/S,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd2e422da40b9eb2fa25ce0defd1d90eace8ee55)
gdzie
jest podmodułem modułu
generowanym przez elementy postaci
![{\displaystyle (rm+r'm',n)-r(m,n)-r'(m',n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a01787b86c407f68ab6f7430918bff33c348f2b)
![{\displaystyle (m,rn+r'n')-r(m,n)-r'(m,n'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52df8857c12fee0661311b83bbbd81dc96b73846)
dla
jest iloczynem tensorowym modułów
i
![{\displaystyle F(M\times N)/S=M\otimes _{R}N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c121cc19b9c47cce73e69624483b59234ddbf0)
Element
![{\displaystyle m\otimes _{R}n:=(m,n)+S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd116b45d938ac071e295d75fa57aa9245ce5bb9)
nazywany jest tensorem prostym elementów
i
a każdy element
– tensorem. Zbiór wszystkich tensorów prostych jest zbiorem wolnych generatorów iloczynu tensorowego
Tensor prosty
jest obrazem pary
w homomorfizmie kanonicznym
![{\displaystyle \pi \colon F(M\times N)\to F(M\times N)/S=M\otimes _{R}N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b588ba87cf2b0c17cb88c6e74920888367c262b)
Jeżeli
są
-bimodułami, to można wprowadzić definicję iloczynu tensorowego
![{\displaystyle M_{1}\otimes _{R}\ldots \otimes _{R}M_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8a4a2d9c30eb17a48bc629c2798e43d352abd3)
zastępując odpowiednio odwzorowania dwuliniowe odwzorowaniami
-liniowymi w określeniu.
- Claude Chevalley, Fundamental concepts of algebra. New York, Academic Press, 1956. s. 74–77.