Wolfgang Pauli (1900–1958)
Macierze Pauliego (spinowe macierze Pauliego) – zbiór 3 zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzony w 1927 roku przez Wolfganga Pauliego w celu opisu spinu elektronu w mechanice kwantowej[1]:
![{\displaystyle \sigma _{1}=\left[{\begin{matrix}0&&1\\1&&0\end{matrix}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad40090e97a3b1a5e67a191dcbcb06b6d0795640)
![{\displaystyle \sigma _{2}=\left[{\begin{matrix}0&-i\\i&~~~0\end{matrix}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2033b7fa2abc434648edaaf782eaeeefadb2f21e)
![{\displaystyle \sigma _{3}=\left[{\begin{matrix}1&~~~0\\0&-1\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f02be70e309e510581684124870571404b3bb8)
W fizyce niekiedy używa się oznaczeń
i
Czasem używa się również symbolu σ0 na oznaczenie macierzy jednostkowej wymiaru
choć najczęściej macierz jednostkową oznacza się symbolem
tj.
![{\displaystyle I=\left[{\begin{matrix}1&&0\\0&&1\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106e8ab51feb25a715721c9594913a24b1727257)
Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową tworzą bazę, w rozumieniu Hilberta-Schmidta:
Niech
oznacza macierz jednostkową.
(1) Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego spełniają równania:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&\!\!\!\!-1,\\\operatorname {Tr} (\sigma _{i})&=&0,\end{matrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2afc3271efa13b77acbc5d3608a9566ff5ad1cb)
gdzie
(2) Iloczyny macierzy Pauliego
a) Obliczając iloczyny macierzy Pauliego, otrzyma się:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}^{2}&=I,\\\sigma _{1}\sigma _{2}&=i\sigma _{3},\\\sigma _{2}\sigma _{1}&=-i\sigma _{3},\\\sigma _{2}\sigma _{3}&=i\sigma _{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bdea1e55a18a01e90fee72e42f7f55a743d1de6)
- itd.
b) Ogólnie mamy:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}\sigma _{j}&=I\cdot \delta _{ij}+i\sum _{k}\epsilon _{ijk}\sigma _{k}\end{aligned}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ea0dd7ac732e3bbab08cb24f43541fc070be25)
gdzie
(3) Z powyższych wzorów wynikają relacje komutacji oraz antykomutacji, np.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{1},\sigma _{2}\right]&=2i\sigma _{3},\\\left[\sigma _{2},\sigma _{3}\right]&=2i\sigma _{1},\\\left[\sigma _{3},\sigma _{1}\right]&=2i\sigma _{2},\\\left[\sigma _{1},\sigma _{1}\right]&=0,\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{1}\right\}&=2I,\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{2}\right\}&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b5ed62cc58b29bbf3463fa15df83d1eff4276c)
gdzie komutator i antykomutator zdefiniowane są następująco:
![{\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=\sigma _{i}\sigma _{j}-\sigma _{j}\sigma _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b473419b281d32bf61d6d8d6b2552120b75576e9)
![{\displaystyle \{\sigma _{i},\sigma _{j}\}=\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c38a4953e6312cf0182684d220ffc8cc86b598)
Ogólnie mamy:
![{\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\sum _{k}\,\epsilon _{ijk}\,\sigma _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59e77db7fcf942713c28261c7915a6bca0238e4)
![{\displaystyle \{\sigma _{i},\sigma _{j}\}=2\delta _{ij}I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e989d67c52e20bae03677aa537a47c3e0784a3)
gdzie:
– symbol Leviego-Civity,
– delta Kroneckera.
(4) Inna własność macierzy Pauliego:
![{\displaystyle -i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc84216e2591b10c8fdd4ec2b835edd5607141c)
(1) Każda z macierzy Pauliego ma dwie wartości własne, +1 i −1.
(2) Wektory własne macierzy Pauliego (znormalizowane do 1):
– dla macierzy
![{\displaystyle \psi _{x+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{1}},\quad \psi _{x-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d6b74e5d438786bc069742914c8df53cf6976f8)
– dla macierzy
![{\displaystyle \psi _{y+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{i}},\quad \psi _{y-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{-i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09cedc6a222d1ace4d9fdde5a2e9a4b281405b6)
– dla macierzy
![{\displaystyle \psi _{z+}={\binom {1}{0}},\quad \psi _{z-}={\binom {0}{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2ce80c787fe75b45064bb5df781174bd584448)
Wektor macierzy Pauliego. Iloczyn skalarny[edytuj | edytuj kod]
(1) Wektor macierzy Pauliego zdefiniowany jest następująco:
![{\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e032bb0cb53dd060a05b2d5c7547617e03fd59dd)
gdzie
– wersory osi układu współrzędnych kartezjańskich.
(2) Niech dany będzie wektor
taki że
![{\displaystyle {\vec {a}}=a_{1}{\hat {x}}+a_{2}{\hat {y}}+a_{3}{\hat {z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21570bf97a86ebd26a3df2f533fc6bdd383be76a)
Wtedy iloczyn skalarny wektora macierzy Pauliego przez wektor
ma postać:
![{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}=a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}+a_{3}\sigma _{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddbf84fa6ad736c214a2ae038e2380f918cb7fbd)
(3) Tw. Dowolny wektor komutuje z wektorem macierzy Pauliego, gdyż mnożenie macierzy przez liczbę zawsze jest przemienne, np.
![{\displaystyle a_{1}\sigma _{1}=\sigma _{1}a_{1}={\begin{bmatrix}0&a_{1}\\a_{1}&0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54844be32562c6380addd6be5d56d4353ab87650)
![{\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,I+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\qquad \qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9689d53c6d5144148699cd7b4fab31189730f167)
oraz
![{\displaystyle e^{i({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})}=I\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a},\qquad \qquad \qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26ee58e83b24523386aca634a6070262d5fcbe4)
gdzie:
![{\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9eed0482491a20c990f77dbfdf37369dbec5e95)
– wektor jednostkowy skierowany w dowolnym kierunku.
Dowód (#1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})&=a_{i}\sigma _{i}b_{j}\sigma _{j}\\&=a_{i}b_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\\&=a_{i}b_{j}\left(\delta _{ij}\cdot I+i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\right)\\&=a_{i}b_{j}\delta _{ij}\cdot I+i\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}\\&=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\cdot I+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930c24fb63b1a473b11ca764278e7434a9d5dfdf)
Dowód (#2)
Najpierw zauważmy równość
![{\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n}=I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477e371f6e1e187b4d92590a95a94fa1716968d1)
(Może być udowodniona dla n=1 z użyciem relacji antykomutacji).
Dla pozostałych:
![{\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0388d4a11815b02ae46da5371d07875940834dc)
Połączenie tych dwóch faktów z wiedzą o relacjach eksponencjalnych z sin i cos:
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}x^{n}}{n!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe43d396d121c59e38323a31a27850b6e4ed79d)
Kiedy podstawimy
otrzymamy
![{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n+1}}{(2n+1)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf112b170d682cb38b0e1a9bef1086d35b45c27)
![{\displaystyle =I\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{(2n)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n+1}}{(2n+1)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ee28b4816b788638b9914ea81e3c57c9142bc4)
Suma cosinusów po lewej stronie i suma sinusów po prawej, więc ostatecznie,
![{\displaystyle e^{ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}=I\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51236ed6aa42e0e8680d1f16fbc1e0fcc6fd16a4)
Macierze Pauliego mają wielkie znaczenie w informatyce kwantowej. Wykorzystywane są jako bramki jednokubitowe. Oznacza się je zwyczajowo jako
kolejno dla
Inne:
- ↑ Wolfgang Pauli, Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons, „Zeitschrift für Physik”, Bd. 43, 1927, s. 601.