Twierdzenie Bolzana[a]-Weierstrassa – jeden z podstawowych wyników w analizie matematycznej. Mówi ono, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny. We współczesnym ujęciu oznacza to, że domknięte i ograniczone podzbiory prostej rzeczywistej są ciągowo zwarte. Twierdzenie to jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia Heinego-Borela, głoszącego, że podzbiór prostej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on domknięty i ograniczony oraz z równoważności zwartości ze zwartością ciągową w przestrzeniach metryzowalnych.
Twierdzenie było najpierw udowodnione przez czeskiego matematyka Bernarda Bolzana, ale jego praca pozostała niezauważona. Twierdzenie było później ponownie odkryte i udowodnione przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa.
Z każdego ograniczonego ciągu liczb rzeczywistych
można wybrać podciąg zbieżny, tzn. można wybrać rosnący ciąg indeksów
tak, że ciąg
jest zbieżny.
Załóżmy, że
jest ciągiem liczb rzeczywistych,
oraz
dla wszystkich
Indukcyjnie wybieramy liczby
oraz liczby naturalne
tak że dla każdego
mamy
![{\displaystyle b_{0}=b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/801cf19c3cb285b72a6aa20cbe178397d4199f52)
![{\displaystyle a_{k}\leqslant a_{k+1}\leqslant c_{n_{k+1}}\leqslant b_{k+1}\leqslant b_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00de0e37ddc7694f0b24f060c0651df84497a2f)
![{\displaystyle b_{k}-a_{k}=(b-a)\cdot 2^{-k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae24c337e93111112c5d799ba220badd753b7d65)
- zbiór
jest nieskończony.
Pierwszy warunek powyżej definiuje
Przypuśćmy, że wybraliśmy już
tak, że wymagania sformułowane powyżej są spełnione. Niech
Jeśli zbiór
jest nieskończony, to połóżmy
i wybierzmy
tak że
Jeśli zbiór
jest skończony, to wtedy zbiór
musi być nieskończony. W tym wypadku deklarujemy, że
i wybieramy
tak że
Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy, że ciąg
jest ciągiem Cauchy’ego, a więc wobec zupełności prostej rzeczywistej jest on zbieżny.
Załóżmy, że
jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych i niech
i niech
Niech teraz
będzie rodziną podprzedziałów przedziału
indeksowaną skończonymi ciągami zero-jedynkowymi określoną wzorami:
oraz
i ![{\displaystyle \Delta _{\epsilon \langle 1\rangle }=[M_{\epsilon },R_{\epsilon }],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b9b98a4d4b5aa8e537bcda93d0aca359298db3)
gdzie
Łatwo zauważyć, że długość przedziału
równa jest
gdzie
jest długością ciągu
oraz dla dowolnych dwóch
![{\displaystyle \Delta _{\epsilon ''}\subseteq \Delta _{\epsilon '}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d67b3058460f6b3184cd07b2b6c1c503444d42)
wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg
jest początkiem ciągu
Łatwo też widać, że istnieje nieskończony rosnący ciąg indeksów
dla którego każdy z przedziałów
zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu
Niech teraz
oraz
Wówczas
jest ściśle rosnący oraz
Pokażemy, że ciąg
jest zbieżny do
gdzie
Niech zatem
i niech
będzie takie, że
oraz niech
będzie takie, że
Biorąc teraz
mamy:
![{\displaystyle |c_{n_{k}}-L^{\star }|<|c_{n_{k}}-{\tilde {L}}_{k}|+|{\tilde {L}}_{k}-L^{\star }|=|c_{n_{k}}-{\tilde {L}}_{k}|+(L^{\star }-{\tilde {L}}_{k})\leqslant 1/2^{k}+(L^{\star }-{\tilde {L}}_{K})<\varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb395630e73c7029c76cbeea271054df1cf3dbb6)
Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu
do
Niech
będzie takim ciągiem jak do tej pory, niech
i niech
Niech dalej
oraz niech
jeśli zbiór
jest nieskończony oraz
w przeciwnym wypadku. Wykażemy indukcyjnie, że przedziały
zawierają nieskończenie wiele elementów ciągu
Ponieważ dla
mamy
baza indukcji jest prawdziwa.
Załóżmy zatem, że dla pewnego
przedział
zawiera nieskończenie wiele elementów ciągu
Jeśli zbiór
jest nieskończony, to
i wówczas
czyli zawiera nieskończenie wiele elementów rozważanego ciągu.
Jeśli zbiór
nieskończony nie jest, to musi być nieskończony
na mocy założenia indukcyjnego i wówczas
oraz
co dopełnia dowód kroku indukcyjnego.
Niech teraz
i niech
jest podciągiem ciągu
Ciąg
jest rosnący i ograniczony, więc posiada supremum
Pokażemy, że
Niech w tym celu
i niech
będzie takie, że
oraz niech
będzie takie, że
Biorąc teraz
mamy:
![{\displaystyle |c_{m_{n}}-L^{\star }|<|c_{m_{n}}-{L}_{n}|+|{L}_{n}-L^{\star }|=(c_{m_{n}}-{L}_{n})+(L^{\star }-{L}_{n})\leqslant 1/2^{n}+(L^{\star }-{L}_{K})<\varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dcc951d6d1defd33237149f7e53e8849c6f52cd)
Tym samym wykazaliśmy zbieżność ciągu
do
Zauważmy, że
jest także granicą ciągów
oraz
Wniosek: twierdzenie Weierstrassa[edytuj | edytuj kod]
Prawie bezpośrednio z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa wynika twierdzenie Weierstrassa:
- jeśli
jest funkcją ciągłą, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja
osiąga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb
mamy:
![{\displaystyle \forall x\in [a,b]\quad f(d)\leqslant f(x)\leqslant f(c).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c75103d09942d7a1f150119ecf90e44f2a11b86e)
Pokażemy najpierw, że obraz funkcji
jest ograniczony. Ponieważ każdy z przedziałów funkcji
dla
jest zbiorem otwartym, a
jest ciągła, to otwarte (w zbiorze
) są zbiory
Rodzina
pokrywa przedział
więc ze zwartości tego ostatniego, istnieją
dla których
Wówczas, jak łatwo widać, dla dowolnego
mamy
gdzie
co oznacza, że
jest funkcją ograniczoną.
Oznaczmy kres górny obrazu
przez
i istnieje ciąg
punktów przedziału
dla których ciąg
jest zbieżny do
Z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa wiemy, że istnieje podciąg
ciągu
zbieżny do pewnej granicy
Wtedy na mocy ciągłości funkcji
otrzymujemy
A więc wartość funkcji
w punkcie
jest kresem górnym obrazu
(a więc także
dla wszystkich
).
W analogiczny sposób pokazujemy istnienie liczby
dla której
Założenie zwartości (domkniętości i ograniczoności) dziedziny funkcji (odcinka
) jest istotne. Na przykład funkcja
jest ciągła, ale nie jest ograniczona. Podobnie
nie jest ograniczona, mimo że dziedzina – cała prosta – jest domknięta.
Twierdzenie Weierstrassa jest używane m.in. w dowodzie twierdzenia Rolle’a[potrzebny przypis].
- ↑ W literaturze niemal wyłącznie występuje błędna tj. nieodmieniona forma pierwszego nazwiska: Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.
pojęcia definiujące | ciągi ogólne |
|
---|
ciągi liczbowe |
|
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb |
|
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia |
|
---|